Berry与纤维丛问题中，丛上的联络是如何构造的？
2023-05-09 阅读 38
在Berry与纤维丛问题中，丛上的联络是通过引入一个与纤维丛同构的向量丛来构造的。具体来说，假设我们有一个主丛$P$和一个纤维丛$E$，并且它们之间有一个光滑映射$\pi:P\rightarrow M$，其中$M$是基空间。我们可以引入一个向量丛$V$，它与纤维丛$E$同构，即$V\cong E$。然后，我们可以定义一个联络$A$，它是一个$P$上的1-形式，取值于$End(V)$，即$A\in\Omega^1(P,End(V))$。这个联络$A$满足以下条件：
1. $A$是$\mathfrak{g}$-值联络，其中$\mathfrak{g}$是$End(V)$的Lie代数。
2. $A$在纤维方向上是平凡的，即对于任意$p\in P$，$A_p$作用于$E_{\pi(p)}$的任意一个向量$v$，都等于$0$。
3. $A$满足平移不变性，即对于任意$p\in P$和$g\in G$，有$A_{pg}=Ad_{g^{-1}}A_p$，其中$Ad$是Lie代数上的伴随作用。
通过这个联络$A$，我们可以定义出一个平行移动的概念，即沿着一条曲线$C$平移一个向量$v$，得到一个新的向量$v'$，使得$v'$沿着$C$的导数在每个点上都等于$A$在该点作用于$v$的结果。这个平行移动的过程就是我们熟知的平行移动，它是在纤维丛$E$上定义的。
更新于 2023年05月10日
