Berry与纤维丛问题中，丛上的联络是如何构造的？
2023-05-09 阅读 52
在Berry与纤维丛问题中，丛上的联络是通过引入一个与纤维丛同构的向量丛来构造的。具体来说，假设我们有一个主丛P和一个纤维丛E，并且它们之间有一个光滑映射\pi:P\rightarrow M，其中M是基空间。我们可以引入一个向量丛V，它与纤维丛E同构，即V\cong E。然后，我们可以定义一个联络A，它是一个P上的1-形式，取值于End(V)，即A\in\Omega^1(P,End(V))。这个联络A满足以下条件：
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A是\mathfrak{g}-值联络，其中\mathfrak{g}是End(V)的Lie代数。
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A在纤维方向上是平凡的，即对于任意p\in P，A_p作用于E_{\pi(p)}的任意一个向量v，都等于$0$。
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A满足平移不变性，即对于任意p\in P和g\in G，有A_{pg}=Ad_{g^{-1}}A_p，其中Ad是Lie代数上的伴随作用。
通过这个联络A，我们可以定义出一个平行移动的概念，即沿着一条曲线C平移一个向量v，得到一个新的向量v'，使得v'沿着C的导数在每个点上都等于A在该点作用于v的结果。这个平行移动的过程就是我们熟知的平行移动，它是在纤维丛E上定义的。
更新于 2023年05月10日
