切丛和余切丛有何不同？为什么构造辛流形时，我们关注了余切丛而非切丛？
2023-07-09 阅读 35
切丛和余切丛是微分几何中的两个重要概念。
切丛描述了流形上每一点的切空间的集合。切空间是与流形上的点相关联的线性空间，用来描述该点处的切向量的集合。切丛是将每个点的切空间组织起来形成的向量丛。
余切丛描述了流形上每一点的余切空间的集合。余切空间是切空间的对偶空间，用来描述切向量对切空间的线性函数的集合。余切丛是将每个点的余切空间组织起来形成的向量丛。
在构造辛流形时，我们更关注余切丛而非切丛的原因有几个。
首先，辛流形是一种特殊的流形，其上有一个辛结构。辛结构是一个切丛上的非退化的反对称双线性形式，它与流形上的切向量场相联系。辛结构在物理学和几何学中有广泛的应用，例如在哈密顿力学和辛几何中。
其次，在辛流形上，切丛和余切丛之间存在一个自然的对偶关系。辛结构将切丛中的切向量场映射到余切丛中的余切向量场，反之亦然。因此，通过研究余切丛，我们可以获得关于切丛的信息。
最后，余切丛在辛流形上的几何和物理性质更容易研究和描述。辛流形上的切丛和余切丛都可以通过局部坐标系来描述，但余切丛的局部坐标系通常更容易处理。这是因为余切向量场可以看作是切向量场的对偶，其坐标表示更直观和方便。
综上所述，构造辛流形时我们更关注余切丛而非切丛，是因为辛结构的存在以及余切丛在描述辛流形的几何和物理性质时的方便性。
更新于 2023年07月09日
