微分流形中定义浸入(immersion)的初衷是什么？有什么直观的几何含义吗？
2023-07-01 阅读 29
微分流形中定义浸入的初衷是为了将一个流形嵌入到另一个流形中，同时保持流形之间的光滑性。具体而言，一个映射被称为浸入，如果它在每个点处的导数是一个单射。
直观地说，浸入可以理解为在一个流形中“嵌入”另一个流形，但并不要求两个流形完全重合。相反，浸入允许两个流形在某些点上相交或相切，但不能有重叠或交叉。这意味着浸入保持了流形的拓扑结构，但可能会改变流形的几何性质。
例如，考虑二维平面上的一个圆形流形。我们可以将这个圆形流形浸入到三维空间中，形成一个圆柱体。在这种情况下，浸入保持了圆形流形的拓扑结构（即圆形），但改变了几何性质（即从二维变为三维）。
更新于 2023年07月02日
