如何计算一维方势垒的反射系数和透射系数？
2023-12-28 阅读 55
一维方势垒的反射系数和透射系数可以通过解析方法或数值方法进行计算。下面是一种常用的解析方法，即使用波函数匹配法（连续性条件和边界条件）进行计算。
首先，我们需要解一维薛定谔方程：
在势垒区域（x<0或x>L）内，薛定谔方程为：
\frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}(E-V)\psi=0
其中，\psi为波函数，m为粒子的质量，\hbar为约化普朗克常数，E为粒子的能量，V为势能。
在势垒区域（0<x<l）内，薛定谔方程为： $$="" \frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}(e-v)\psi="0" 我们可以假设波函数的形式为：="" \psi(x)="\begin{cases}" ae^{ik_1x}+be^{-ik_1x},="" &="" x<0="" \="" ce^{ik_2x}+de^{-ik_2x},="" 0<x<l="" fe^{ik_1x},="" x="">L
\end{cases}
其中，$A$和$B$为入射波的振幅系数，$C$和$D$为反射波的振幅系数，$F$为透射波的振幅系数，$k_1=\frac{\sqrt{2m(E-V)}}{\hbar}$为入射波的波矢，$k_2=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$为势垒内的波矢。
根据连续性条件和边界条件，可以得到以下方程组：
\begin{cases}
A+B=C+D \
ik_1(A-B)=ik_2(C-D) \
Ce^{ik_2L}+De^{-ik_2L}=Fe^{ik_1L} \
ik_2(Ce^{ik_2L}-De^{-ik_2L})=ik_1Fe^{ik_1L}
\end{cases}
通过求解以上方程组，可以得到反射系数$R=\frac{|C|^2}{|A|^2}$和透射系数$T=\frac{|F|^2}{|A|^2}$。
需要注意的是，以上方法适用于势垒高度远小于粒子能量的情况。对于更复杂的势垒情况，可能需要使用数值方法进行计算，如数值解薛定谔方程的方法（如有限差分法、有限元法等）或传输矩阵法。</x<l）内，薛定谔方程为：>
更新于 2023年12月28日
