梯形函数如何进行傅里叶转换？
2023-05-11 阅读 38
梯形函数可以表示为周期为 $T$ 的周期函数 $f(t)$ 的和：
$$f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i\frac{2\pi n}{T}t}$$
其中，系数 $c_n$ 可以通过傅里叶系数公式求得：
$$c_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) e^{-i\frac{2\pi n}{T}t} dt$$
对于梯形函数，我们可以将其表示为两个阶梯函数之差：
$$f(t) = u(t) - u(t-T/2)$$
其中，$u(t)$ 表示单位阶跃函数。因此，我们可以将 $f(t)$ 的傅里叶系数表示为：
$$c_n = \frac{1}{T} \left[\int_{0}^{T/2} e^{-i\frac{2\pi n}{T}t} dt - \int_{T/2}^{T} e^{-i\frac{2\pi n}{T}t} dt \right]$$
经过计算，可以得到：
$$c_n = \begin{cases}
\frac{1}{iTn\pi} (1-e^{-iTn\pi}) & n \neq 0 \\
0 & n = 0
\end{cases}$$
因此，梯形函数的傅里叶级数为：
$$f(t) = \frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin\left(\frac{2n\pi}{T}t\right)$$
这就是梯形函数的傅里叶级数表达式。
更新于 2023年05月14日
