梯形函数如何进行傅里叶转换？
2023-05-11 阅读 62
梯形函数可以表示为周期为 T 的周期函数 f(t) 的和：
f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i\frac{2\pi n}{T}t}
其中，系数 c_n 可以通过傅里叶系数公式求得：
c_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) e^{-i\frac{2\pi n}{T}t} dt
对于梯形函数，我们可以将其表示为两个阶梯函数之差：
f(t) = u(t) - u(t-T/2)
其中，u(t) 表示单位阶跃函数。因此，我们可以将 f(t) 的傅里叶系数表示为：
c_n = \frac{1}{T} \left[\int_{0}^{T/2} e^{-i\frac{2\pi n}{T}t} dt - \int_{T/2}^{T} e^{-i\frac{2\pi n}{T}t} dt \right]
经过计算，可以得到：
c_n = \begin{cases}
\frac{1}{iTn\pi} (1-e^{-iTn\pi}) & n \neq 0 \\
0 & n = 0
\end{cases}
因此，梯形函数的傅里叶级数为：
f(t) = \frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin\left(\frac{2n\pi}{T}t\right)
这就是梯形函数的傅里叶级数表达式。
更新于 2023年05月14日
