这两个结果简洁的组合数怎么证明?
2024-12-16 阅读 14
要证明组合数的简洁性，可以使用数学归纳法。首先，我们知道组合数的定义是 \(C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)，其中 \(n\) 和 \(k\) 是非负整数且 \(0 \leq k \leq n\)。
证明组合数的简洁性即证明 \(C(n, k) = C(n, n-k)\)。我们可以通过数学归纳法来证明这一点。
1. 当 \(k = 0\) 时，\(C(n, 0) = \frac{n!}{0!n!} = 1\)，而 \(C(n, n) = \frac{n!}{n!0!} = 1\)。因此，基本情况成立。
2. 假设对于某个 \(m\)，当 \(k = m\) 时，\(C(n, m) = C(n, n-m)\) 成立，即 \(\frac{n!}{m!(n-m)!} = \frac{n!}{(n-m)!m!}\)。
3. 考虑 \(k = m + 1\) 时的情况：
\[C(n, m+1) = \frac{n!}{(m+1)!(n-m-1)!}\]
\[C(n, n - (m + 1)) = C(n, n - m - 1) = \frac{n!}{(n-m-1)!(m+1)!}\]
我们可以将 \(C(n, m+1)\) 中的分子和分母中的 \(m+1\) 分别变换为 \(n-m\) 和 \(n-m\)，得到：
\[C(n, m+1) = \frac{n!}{(m+1)!(n-m-1)!} = \frac{n!}{(n-m)!(n-m)!} = C(n, n-m)\]
因此，根据数学归纳法，我们证明了组合数的简洁性，即 \(C(n, k) = C(n, n-k)\)。
更新于 2024年12月16日
