格林公式，如何推导？
2024-11-20 阅读 13
格林公式是一个关于二维空间中的函数的重要定理，它描述了函数在一个封闭区域内的积分与该区域的边界相关的关系。推导格林公式的过程可以分为以下几个步骤：
1. 首先，我们考虑一个二维平面上的封闭区域$D$，并假设该区域是由一条简单闭曲线$\partial D$所围成的。
2. 设$f(x, y)$和$g(x, y)$是定义在区域$D$上的连续可微函数。
3. 我们定义一个二维向量场$F(x, y) = (f(x, y), g(x, y))$，则$F(x, y)$的散度可以表示为$\nabla \cdot F = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial y}$。
4. 根据散度定理，我们知道$D$内$F(x, y)$的散度与$D$的面积积分之间存在关系：$\iint_D \nabla \cdot F \, dA = \oint_{\partial D} F \cdot \mathbf{n} \, ds$，其中$\mathbf{n}$是边界$\partial D$的单位法向量，$ds$表示边界上的弧长元素。
5. 将$F(x, y)$展开为$(f, g) = (f, 0) + (0, g)$，然后分别应用散度定理，我们可以得到两个关于$f$和$g$的格林公式。
6. 最终，将两个格林公式相加，即可得到格林公式的一般形式：$\iint_D \left( \frac{\partial g}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y} \right) \, dA = \oint_{\partial D} (f \, dy - g \, dx)$。
通过以上步骤，我们可以推导出格林公式，它是矢量微积分中的重要定理，常用于计算二维空间中的积分。
更新于 2024年11月22日
