n阶范德蒙德行列式公式，如何推导？
2024-11-20 阅读 38
范德蒙德行列式是一个非常有用的行列式，特别适用于线性代数和数值分析中。设有n个互不相同的数a1, a2, ..., an，构成一个n阶矩阵，矩阵的第i行第j列的元素为ai^j-1。则这个矩阵的行列式称为n阶范德蒙德行列式。
推导n阶范德蒙德行列式的方法可以通过数学归纳法来完成。首先，我们可以先推导出1阶、2阶、3阶的范德蒙德行列式，然后利用递推的方法推导出n阶的范德蒙德行列式。
以3阶为例，设三个数为a1, a2, a3，构成3阶矩阵为：
|1 a1 a1^2|
|1 a2 a2^2|
|1 a3 a3^2|
根据行列式的定义，展开这个矩阵的行列式，可以得到：
|1 a1 a1^2|
|1 a2 a2^2|
|1 a3 a3^2| = a1a2a3 - a1a3^2 - a2a1^2 + a2a3^2 + a3a1^2 - a3a2^2
这就是3阶范德蒙德行列式的表达式。对于n阶的范德蒙德行列式，可以通过类似的方法推导出其表达式。
更新于 2024年11月24日
