n阶方阵A可对角化的充要条件是a有n个线性无关的特征向量。请问如何在几何角度理解句话？
2023-12-07 阅读 66
在几何角度上理解这个命题，可以将方阵A看作是一个线性变换。特征向量是在该线性变换下保持方向不变的向量。如果一个方阵A有n个线性无关的特征向量，意味着存在n个线性无关的向量，它们在该线性变换下保持方向不变。
这个命题的几何意义是，如果一个方阵A有n个线性无关的特征向量，那么可以找到n个线性无关的向量，它们可以被A变换后保持不变。换句话说，A可以通过一个合适的坐标变换，将其表示为一个对角矩阵D，而这个坐标变换的基向量就是特征向量。
几何上，对角化可以理解为将一个线性变换转化为一个更简单的形式，即对角矩阵。这个过程相当于将原始向量空间中的坐标系进行旋转和缩放，使得变换后的向量空间中的坐标轴与特征向量对齐。这样做的好处是可以更方便地描述和理解线性变换的性质和行为。
更新于 2023年12月08日
