如何证明可对角化的非厄米算符的左右特征向量是等价的斜交系?
2023-07-20 阅读 60
对于可对角化的非厄米算符，其左右特征向量是等价的斜交系的证明如下：
设非厄米算符A的右特征向量为|ψ⟩，对应的右特征值为λ，即A|ψ⟩=λ|ψ⟩。左特征向量为⟨χ|，对应的左特征值为μ，即⟨χ|A=μ⟨χ|。
我们要证明的是，对于不同的右特征值λ1和λ2，其对应的右特征向量|ψ1⟩和|ψ2⟩是正交的，即⟨ψ1|ψ2⟩=0；同样地，对于不同的左特征值μ1和μ2，其对应的左特征向量⟨χ1|和⟨χ2|也是正交的，即⟨χ1|χ2⟩=0。
首先，我们考虑右特征向量的情况。假设|ψ1⟩和|ψ2⟩是A的两个右特征向量，对应的右特征值分别为λ1和λ2，即A|ψ1⟩=λ1|ψ1⟩，A|ψ2⟩=λ2|ψ2⟩。
我们可以将A作用在|ψ2⟩上，得到：
A|ψ2⟩=λ2|ψ2⟩
将上面两个等式相减，得到：
A|ψ1⟩-A|ψ2⟩=λ1|ψ1⟩-λ2|ψ2⟩
化简得到：
A(|ψ1⟩-|ψ2⟩)=(λ1-λ2)(|ψ1⟩-|ψ2⟩)
由于λ1和λ2是不同的特征值，所以(λ1-λ2)不等于0。因此，我们可以得到：
|ψ1⟩-|ψ2⟩=0
即：
|ψ1⟩=|ψ2⟩
这表明了对于不同的右特征值，其对应的右特征向量是正交的。
同样的方法可以用来证明左特征向量的正交性。因此，我们可以得出结论：对于可对角化的非厄米算符，其左右特征向量是等价的斜交系。
更新于 2023年07月20日
