如何证明可对角化的非厄米算符的左右特征向量是等价的斜交系?

2023-07-20 阅读 59

对于可对角化的非厄米算符,其左右特征向量是等价的斜交系的证明如下:

设非厄米算符A的右特征向量为|ψ⟩,对应的右特征值为λ,即A|ψ⟩=λ|ψ⟩。左特征向量为⟨χ|,对应的左特征值为μ,即⟨χ|A=μ⟨χ|。

我们要证明的是,对于不同的右特征值λ1和λ2,其对应的右特征向量|ψ1⟩和|ψ2⟩是正交的,即⟨ψ1|ψ2⟩=0;同样地,对于不同的左特征值μ1和μ2,其对应的左特征向量⟨χ1|和⟨χ2|也是正交的,即⟨χ1|χ2⟩=0。

首先,我们考虑右特征向量的情况。假设|ψ1⟩和|ψ2⟩是A的两个右特征向量,对应的右特征值分别为λ1和λ2,即A|ψ1⟩=λ1|ψ1⟩,A|ψ2⟩=λ2|ψ2⟩。

我们可以将A作用在|ψ2⟩上,得到:

A|ψ2⟩=λ2|ψ2⟩

将上面两个等式相减,得到:

A|ψ1⟩-A|ψ2⟩=λ1|ψ1⟩-λ2|ψ2⟩

化简得到:

A(|ψ1⟩-|ψ2⟩)=(λ1-λ2)(|ψ1⟩-|ψ2⟩)

由于λ1和λ2是不同的特征值,所以(λ1-λ2)不等于0。因此,我们可以得到:

|ψ1⟩-|ψ2⟩=0

即:

|ψ1⟩=|ψ2⟩

这表明了对于不同的右特征值,其对应的右特征向量是正交的。

同样的方法可以用来证明左特征向量的正交性。因此,我们可以得出结论:对于可对角化的非厄米算符,其左右特征向量是等价的斜交系。

更新于 2023年07月20日