如何证明若其中一个矩阵可对角化，则另一个也可对角化？
2025-01-02 阅读 96
假设我们有两个矩阵$A$和$B$，并且已知$A$可对角化。要证明若$A$可对角化，则$B$也可对角化，我们可以使用以下步骤：
1. 首先，由于$A$可对角化，即存在一个非奇异矩阵$P$和一个对角矩阵$D$，使得$A = PDP^{-1}$。
2. 我们考虑矩阵$B = P^{-1}AP$，这是一个相似矩阵于$A$。
3. 由于相似矩阵具有相同的特征值，因此$A$和$B$具有相同的特征值。
4. 由于$A$可对角化，即$A$有$n$个线性无关的特征向量，所以$B$也有$n$个线性无关的特征向量。
5. 因此，$B$也可对角化，即存在一个非奇异矩阵$Q$和一个对角矩阵$D'$，使得$B = QD'Q^{-1}$。
综上所述，若一个矩阵可对角化，则其相似矩阵也可对角化。
更新于 2025年01月02日
