如何证明若尔当分解的唯一性及其特征多项式的如下性质?

2023-04-27 阅读 42

若尔当分解的唯一性可以通过以下两个定理来证明:

  1. A 可对角化,则其若尔当标准型唯一。

  2. A 的若尔当标准型为 J_1, J_2,则 J_1J_2 的若尔当块个数相同且对应的若尔当块大小也相同。

因此,若尔当分解可以唯一地表示一个矩阵。

关于特征多项式的性质,我们可以通过以下定理来证明:

A 的若尔当标准型为 J,则 A 的特征多项式为 \det(\lambda I - A),而 J 的特征多项式为 \det(\lambda I - J)。由于 J 是若尔当形式,其特征多项式可以表示为:

\det(\lambda I - J) = \prod_{i=1}^k \det(\lambda I - J_i)^{m_i}

其中,kJ 中若尔当块的个数,m_iJ 中大小为 i 的若尔当块的个数。由于若尔当块的特征多项式为 (\lambda - \lambda_i)^m,其中 \lambda_i 为若尔当块对应的特征值,m 为若尔当块的大小。因此,

\det(\lambda I - A) = \det(\lambda I - J) = \prod_{i=1}^k (\lambda - \lambda_i)^{m_i}

这证明了若尔当分解的特征多项式性质。

更新于 2023年05月04日