若尔当分解的唯一性可以通过以下两个定理来证明:
若 A 可对角化,则其若尔当标准型唯一。
若 A 的若尔当标准型为 J_1, J_2,则 J_1 和 J_2 的若尔当块个数相同且对应的若尔当块大小也相同。
因此,若尔当分解可以唯一地表示一个矩阵。
关于特征多项式的性质,我们可以通过以下定理来证明:
设 A 的若尔当标准型为 J,则 A 的特征多项式为 \det(\lambda I - A),而 J 的特征多项式为 \det(\lambda I - J)。由于 J 是若尔当形式,其特征多项式可以表示为:
其中,k 为 J 中若尔当块的个数,m_i 为 J 中大小为 i 的若尔当块的个数。由于若尔当块的特征多项式为 (\lambda - \lambda_i)^m,其中 \lambda_i 为若尔当块对应的特征值,m 为若尔当块的大小。因此,
这证明了若尔当分解的特征多项式性质。