如何证明若尔当分解的唯一性及其特征多项式的如下性质？
2023-04-27 阅读 25
若尔当分解的唯一性可以通过以下两个定理来证明：
1. 若 $A$ 可对角化，则其若尔当标准型唯一。
2. 若 $A$ 的若尔当标准型为 $J_1, J_2$，则 $J_1$ 和 $J_2$ 的若尔当块个数相同且对应的若尔当块大小也相同。
因此，若尔当分解可以唯一地表示一个矩阵。
关于特征多项式的性质，我们可以通过以下定理来证明：
设 $A$ 的若尔当标准型为 $J$，则 $A$ 的特征多项式为 $\det(\lambda I - A)$，而 $J$ 的特征多项式为 $\det(\lambda I - J)$。由于 $J$ 是若尔当形式，其特征多项式可以表示为：
$$\det(\lambda I - J) = \prod_{i=1}^k \det(\lambda I - J_i)^{m_i}$$
其中，$k$ 为 $J$ 中若尔当块的个数，$m_i$ 为 $J$ 中大小为 $i$ 的若尔当块的个数。由于若尔当块的特征多项式为 $(\lambda - \lambda_i)^m$，其中 $\lambda_i$ 为若尔当块对应的特征值，$m$ 为若尔当块的大小。因此，
$$\det(\lambda I - A) = \det(\lambda I - J) = \prod_{i=1}^k (\lambda - \lambda_i)^{m_i}$$
这证明了若尔当分解的特征多项式性质。
更新于 2023年05月04日
