如何证明若尔当分解的唯一性及其特征多项式的如下性质？
2023-04-27 阅读 43
若尔当分解的唯一性可以通过以下两个定理来证明：
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若 A 可对角化，则其若尔当标准型唯一。
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若 A 的若尔当标准型为 J_1, J_2，则 J_1 和 J_2 的若尔当块个数相同且对应的若尔当块大小也相同。
因此，若尔当分解可以唯一地表示一个矩阵。
关于特征多项式的性质，我们可以通过以下定理来证明：
设 A 的若尔当标准型为 J，则 A 的特征多项式为 \det(\lambda I - A)，而 J 的特征多项式为 \det(\lambda I - J)。由于 J 是若尔当形式，其特征多项式可以表示为：
\det(\lambda I - J) = \prod_{i=1}^k \det(\lambda I - J_i)^{m_i}
其中，k 为 J 中若尔当块的个数，m_i 为 J 中大小为 i 的若尔当块的个数。由于若尔当块的特征多项式为 (\lambda - \lambda_i)^m，其中 \lambda_i 为若尔当块对应的特征值，m 为若尔当块的大小。因此，
\det(\lambda I - A) = \det(\lambda I - J) = \prod_{i=1}^k (\lambda - \lambda_i)^{m_i}
这证明了若尔当分解的特征多项式性质。
更新于 2023年05月04日
