球坐标系下的单位向量公式如何推导？
2023-09-03 阅读 72
球坐标系下的单位向量可以通过以下推导得到：
首先，我们定义球坐标系中的三个坐标变量：r 表示点到原点的距离，θ 表示点与正 z 轴的夹角，φ 表示点在 xy 平面上的投影与正 x 轴的夹角。
然后，我们可以通过以下关系将球坐标系中的点与笛卡尔坐标系中的点相互转换：
x = r * sin(θ) * cos(φ)
y = r * sin(θ) * sin(φ)
z = r * cos(θ)
接下来，我们可以计算球坐标系下的单位向量。单位向量是指长度为 1 的向量，可以通过将向量除以其长度来得到。在球坐标系中，向量的长度可以通过以下公式计算：
|V| = sqrt(x^2 + y^2 + z^2) = sqrt(r^2 * sin^2(θ) * cos^2(φ) + r^2 * sin^2(θ) * sin^2(φ) + r^2 * cos^2(θ))
因此，单位向量可以表示为：
V_hat = (x/|V|, y/|V|, z/|V|) = (r * sin(θ) * cos(φ) / sqrt(r^2 * sin^2(θ) * cos^2(φ) + r^2 * sin^2(θ) * sin^2(φ) + r^2 * cos^2(θ)),
r * sin(θ) * sin(φ) / sqrt(r^2 * sin^2(θ) * cos^2(φ) + r^2 * sin^2(θ) * sin^2(φ) + r^2 * cos^2(θ)),
r * cos(θ) / sqrt(r^2 * sin^2(θ) * cos^2(φ) + r^2 * sin^2(θ) * sin^2(φ) + r^2 * cos^2(θ)))
这就是球坐标系下的单位向量的推导公式。
更新于 2023年09月03日
