椭圆形薄板绕长轴或短轴的转动惯量如何推导？
2024-02-18 阅读 28
椭圆形薄板绕长轴或短轴的转动惯量可以通过积分计算来推导。以绕长轴转动惯量为例，设椭圆形薄板的质量分布密度为\sigma(x, y)，其中(x, y)为椭圆坐标系下的坐标。椭圆形薄板的转动惯量可以表示为：
[I_z = \iint_{D} r^2 \sigma(x, y) dA]
其中，r为距离旋转轴的距离，dA为微元面积，D为椭圆形薄板的投影区域。
在椭圆坐标系下，椭圆的方程可以表示为\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1。根据坐标变换公式，微元面积dA可以表示为dA = ab \, d\theta \, dr。
将dA代入转动惯量的表达式中，可以得到：
[I_z = \iint_{D} (a^2 \cos^2\theta + b^2 \sin^2\theta) \sigma(a \cos\theta, b \sin\theta) ab , d\theta , dr]
对上式进行极坐标变换，进行积分计算即可得到绕长轴的转动惯量。对于绕短轴的转动惯量，也可以通过类似的方法推导得到。
更新于 2024年11月20日
