椭圆形薄板绕长轴或短轴的转动惯量如何推导？
2024-02-18 阅读 15
椭圆形薄板绕长轴或短轴的转动惯量可以通过积分计算来推导。以绕长轴转动惯量为例，设椭圆形薄板的质量分布密度为$\sigma(x, y)$，其中$(x, y)$为椭圆坐标系下的坐标。椭圆形薄板的转动惯量可以表示为：
\[I_z = \iint_{D} r^2 \sigma(x, y) dA\]
其中，$r$为距离旋转轴的距离，$dA$为微元面积，$D$为椭圆形薄板的投影区域。
在椭圆坐标系下，椭圆的方程可以表示为$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$。根据坐标变换公式，微元面积$dA$可以表示为$dA = ab \, d\theta \, dr$。
将$dA$代入转动惯量的表达式中，可以得到：
\[I_z = \iint_{D} (a^2 \cos^2\theta + b^2 \sin^2\theta) \sigma(a \cos\theta, b \sin\theta) ab \, d\theta \, dr\]
对上式进行极坐标变换，进行积分计算即可得到绕长轴的转动惯量。对于绕短轴的转动惯量，也可以通过类似的方法推导得到。
更新于 2024年11月20日
