椭圆形薄板绕长轴或短轴的转动惯量可以通过积分计算来推导。以绕长轴转动惯量为例,设椭圆形薄板的质量分布密度为\sigma(x, y),其中(x, y)为椭圆坐标系下的坐标。椭圆形薄板的转动惯量可以表示为:
[I_z = \iint_{D} r^2 \sigma(x, y) dA]
其中,r为距离旋转轴的距离,dA为微元面积,D为椭圆形薄板的投影区域。
在椭圆坐标系下,椭圆的方程可以表示为\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1。根据坐标变换公式,微元面积dA可以表示为dA = ab \, d\theta \, dr。
将dA代入转动惯量的表达式中,可以得到:
[I_z = \iint_{D} (a^2 \cos^2\theta + b^2 \sin^2\theta) \sigma(a \cos\theta, b \sin\theta) ab , d\theta , dr]
对上式进行极坐标变换,进行积分计算即可得到绕长轴的转动惯量。对于绕短轴的转动惯量,也可以通过类似的方法推导得到。