斯托克斯公式，如何推导？
2024-11-20 阅读 10
斯托克斯定理是矢量分析中的一个重要定理，它描述了一个曲面上的矢量场环绕该曲面一周的环流量与该曲面的边界曲线上的矢量场积分之间的关系。下面是斯托克斯定理的推导过程：
1. 首先，假设有一个曲面S，它被一个边界曲线C所围成。
2. 现在考虑一个矢量场F，在曲面S上的环流量可以表示为对该矢量场在曲面上的环绕一周的环流线积分，即
\[
\oint_{C} \vec{F} \cdot d\vec{r}
\]
3. 根据环流线积分的定义，我们可以将上式展开为
\[
\oint_{C} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_{a}^{b} \vec{F}(\vec{r}(t)) \cdot \vec{r'}(t) dt
\]
其中$\vec{r}(t)$是曲线C上的参数化表示，$a$和$b$是参数的取值范围。
4. 根据斯托克斯定理，上式可以进一步转化为曲面S上的散度定理形式，即
\[
\oint_{C} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \iint_{S} (\nabla \times \vec{F}) \cdot d\vec{S}
\]
其中$\nabla \times \vec{F}$是矢量场$\vec{F}$的旋度，$d\vec{S}$是曲面S上的面积元素。
5. 这样，我们就得到了斯托克斯定理的表达形式，它描述了曲面上的环流量与边界曲线上的矢量场积分之间的关系。
更新于 2024年11月22日
