知道什么是凸函数，有没有凸泛函呢？
2024-11-19 阅读 12
凸函数是定义在实数集合上的函数，其图像上的任意两点之间的线段都位于或在函数图像的上方。换句话说，对于任意实数\(x_1, x_2\)和任意\(0 \leq \lambda \leq 1\)，如果函数\(f\)是凸函数，则有:
\[f(\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2) \leq \lambda f(x_1) + (1-\lambda)f(x_2)\]
凸泛函是定义在函数空间上的凸函数。也就是说，对于任意两个函数\(f_1\)和\(f_2\)以及任意\(0 \leq \lambda \leq 1\)，如果泛函\(F\)是凸泛函，则有:
\[F(\lambda f_1 + (1-\lambda)f_2) \leq \lambda F(f_1) + (1-\lambda)F(f_2)\]
凸函数和凸泛函在优化理论和凸分析中有重要的应用，因为它们具有良好的性质，使得在优化问题中更容易处理。
更新于 2024年11月22日
