魏茨泽动能泛函如何推导的呢？
2023-11-27 阅读 44
魏茨泽动能泛函的推导可以从经典力学的拉格朗日形式出发。假设系统的广义坐标为$q_i$，广义速度为$\dot{q}_i$，系统的拉格朗日函数为$L(q_i,\dot{q}_i,t)$。
首先，我们定义系统的动能$T$为：
$$T = \frac{1}{2}\sum_{i,j}m_{ij}\dot{q}_i\dot{q}_j$$
其中，$m_{ij}$是系统的质量矩阵。
接下来，我们可以将动能表示为广义速度的函数，即$T=T(\dot{q}_i)$。然后，我们引入一个辅助函数$F(q_i,t)$，满足以下关系：
$$\frac{\partial F}{\partial q_i} = \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i}$$
利用这个辅助函数，我们可以将动能表示为广义坐标和时间的函数，即$T=T(q_i,\dot{q}_i,t)$。
然后，我们定义魏茨泽动能泛函$W$为：
$$W = \int_{t_1}^{t_2}L(q_i,\dot{q}_i,t)dt$$
接下来，我们对魏茨泽动能泛函$W$进行变分，即对广义坐标$q_i$进行微小变化$\delta q_i$。根据变分法的原理，我们可以得到：
$$\delta W = \int_{t_1}^{t_2}\left(\frac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\delta \dot{q}_i\right)dt$$
利用辅助函数$F$的定义，我们可以将上式中的$\delta \dot{q}_i$表示为$\delta q_i$的函数，即：
$$\delta \dot{q}_i = \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial F}{\partial q_i}\right)\delta t = \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i}\right)\delta t$$
将上式代入$\delta W$的表达式中，我们可以得到：
$$\delta W = \int_{t_1}^{t_2}\left(\frac{\partial L}{\partial q_i} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i}\right)\right)\delta q_i dt$$
根据变分法的基本原理，我们知道$\delta W$必须为零，即$\delta W = 0$。因此，我们可以得到魏茨泽动能泛函的欧拉-拉格朗日方程：
$$\frac{\partial L}{\partial q_i} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i}\right) = 0$$
这就是魏茨泽动能泛函的推导过程。通过求解欧拉-拉格朗日方程，我们可以得到系统的运动方程。
更新于 2023年11月27日
