如何证明:在任意样本中任取一个样本点,结果大于均值的概率为零当且仅当结果小于均值的概率也为零?

2023-06-14 阅读 53

首先,我们需要明确一下样本的均值是什么。样本的均值是指所有样本点的值的总和除以样本的数量。

假设样本的均值为μ,样本中任取一个样本点的值为x。

我们需要证明的是,P(x > μ) = 0 当且仅当 P(x < μ) = 0。

证明:

首先,假设 P(x > μ) = 0,也就是说,任取一个样本点,结果大于均值的概率为零。

那么,根据概率的定义,我们知道:

P(x > μ) = 0 等价于 x ≤ μ 的概率为1。

也就是说,样本中所有的样本点都小于等于均值μ。因此,P(x < μ) = 1。

反之,假设 P(x < μ) = 0,也就是说,任取一个样本点,结果小于均值的概率为零。

那么,根据概率的定义,我们知道:

P(x < μ) = 0 等价于 x ≥ μ 的概率为1。

也就是说,样本中所有的样本点都大于等于均值μ。因此,P(x > μ) = 1。

综上所述,我们证明了在任意样本中任取一个样本点,结果大于均值的概率为零当且仅当结果小于均值的概率也为零。

更新于 2023年06月14日