请问这个函数渐近线应该怎么求?
2024-11-19 阅读 93
更新于 2024年11月22日
所谓的瞪眼法本质上是不动笔做题。
这不是一种方法，这是一种熟练后的条件反射。
渐近线的斜率怎么求？
k=\lim \dfrac{f(x)}{x}k=\lim \dfrac{f(x)}{x}
这里的渐近线时可能存在于无穷远处。
那么， f(x)f(x) 是三角函数，会影响到极限吗？
在这里的 \sin x\sin x 是会的，它的震荡和 xx 同等级的，也存在一些震荡但是不同等级的情况。
不过 \sin \frac1x\sin \frac1x 在无穷处就不会了，因为根本就不震荡。
A选项C那么二次函数呢？
影响太大了，大到渐近线都不会出现了。
B、仅仅让它歪掉了一点这就是所谓瞪眼法的思考，它需要你对这个知识点熟练。
所有不考虑学生水平就写瞪眼法的答案都是耍流氓。
这里补充一下我们教材上的渐近线的定义（其实是对函数图像越来越接近渐近线的严格描述）：
在一般的情况下，若
\lim_{{x \to \infty}} [f(x) - (ax + b)] = 0, \\\lim_{{x \to \infty}} [f(x) - (ax + b)] = 0, \\
则称直线 y = ax + by = ax + b 为曲线 y = f(x)y = f(x) 的渐近线
（其中 x \to \inftyx \to \infty 也可以是 x \to +\inftyx \to +\infty 或 x \to -\inftyx \to -\infty）。
首先，如果直线 y=ax+by=ax+b 是渐近线，则
\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-(ax+b)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \lim_{x \to \infty} [f(x)-(ax+b)] = 0, \\\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-(ax+b)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \lim_{x \to \infty} [f(x)-(ax+b)] = 0, \\
由此即得
a = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}. \\a = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}. \\
其次，再由 \lim_{x \to \infty} [f(x)-(ax+b)] = 0\lim_{x \to \infty} [f(x)-(ax+b)] = 0 可得
b = \lim_{x \to \infty} [f(x)-ax]. \\b = \lim_{x \to \infty} [f(x)-ax]. \\
反之，若如上确定了 aa 和 bb，则直线 y=ax+by=ax+b 便是曲线 y=f(x)y=f(x) 的渐近线。
一个特殊情况是 a=0a=0，即如果 \lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=b\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=b 或 \lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=b\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=b，则称直线 y=by=b 是曲线 y=f(x)y=f(x) 的水平渐近线。
相对应地，a \neq 0a \neq 0 时，称渐近线 y=ax+by=ax+b 为斜渐近线。
当极限的知识熟练之后，很多函数就是脑子里过一下，极限是口算的。
再进一步，说不定连一些特定函数的图像都能记下来，当然是看一看就知道有没有渐近线了。
一眼秒选C。
两个不同函数相加，必然两个都是看起来有渐近线才行。直接排除二次函数。sinX是周期函数，直接排除。选C。
然后剩下的C再瞪眼验证一下，相当于sinT，T被限制在±1之内，图像近似线段不会有周期性，叠加个直线，目测没错。
渐近线有渐近直线、渐近曲线，自然还有渐近平面、渐近曲面、渐近体等等，不严格的说，四个选项都是渐近线，都对
为啥我觉得瞪眼只能排除AB……
Ac的区别是什么？，为什么a没有c有
