如何直观证明对称矩阵的主元即前两个顺次主子式之比?
2024-11-26 阅读 13
对称矩阵的主元即为其顺次主子式，也就是矩阵的第一个顺次主子式为矩阵的第一个主元，第二个顺次主子式为矩阵的第二个主元，依此类推。因此，对称矩阵的前两个顺次主子式之比即为其前两个主元之比。
可以通过一个简单的例子来直观证明这一点。考虑一个对称矩阵：
\[ A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \end{bmatrix} \]
其中，\(a, b, c, d, e, f\)为矩阵的元素。这个矩阵的前两个顺次主子式为：
\[ \Delta_1 = a, \Delta_2 = ad - b^2 \]
所以，前两个主元之比为：
\[ \frac{\Delta_2}{\Delta_1} = \frac{ad - b^2}{a} \]
这个比值即为对称矩阵的前两个顺次主子式之比。
更新于 2024年11月27日
