两体到两体散射的初末态粒子的四动量可以构成三个不变量s,t,u.证明：s+t+u等于四个粒子的质量平方和！?
对于两体到两体散射过程，我们可以定义四个粒子的四动量为p_1, p_2, p_3, p_4，其中p_1和p_2是初态粒子的四动量，p_3和p_4是末态粒子的四动量。
首先，我们可以计算两个中间变量s和t，它们定义为：
s = (p_1 + p_2)^2 = (p_3 + p_4)^2
t = (p_1 - p_3)^2 = (p_2 - p_4)^2
接下来，我们可以计算第三个中间变量u，它定义为：
u = (p_1 - p_4)^2 = (p_2 - p_3)^2
现在我们来证明s + t + u等于四个粒子的质量平方和。
首先，我们可以展开s + t + u：
s + t + u = (p_1 + p_2)^2 + (p_1 - p_3)^2 + (p_1 - p_4)^2
根据四动量的定义，我们可以将上式展开为：
s + t + u = p_1^2 + p_2^2 + 2p_1 \cdot p_2 + p_1^2 + p_3^2 - 2p_1 \cdot p_3 + p_1^2 + p_4^2 - 2p_1 \cdot p_4
合并同类项，我们得到：
s + t + u = 3p_1^2 + p_2^2 + p_3^2 + p_4^2 + 2(p_1 \cdot p_2 - p_1 \cdot p_3 - p_1 \cdot p_4)
注意到p_1^2等于初态粒子的质量平方m_1^2，类似地，p_2^2，p_3^2和p_4^2分别等于末态粒子的质量平方m_2^2，m_3^2和m_4^2。
因此，我们可以将上式进一步简化为：
s + t + u = 3m_1^2 + m_2^2 + m_3^2 + m_4^2 + 2(p_1 \cdot p_2 - p_1 \cdot p_3 - p_1 \cdot p_4)
注意到p_1和p_2是初态粒子的四动量，它们满足p_1 \cdot p_2 = m_1^2，同样地，p_1和p_3以及p_1和p_4分别是末态粒子的四动量，它们满足p_1 \cdot p_3 = m_2^2和p_1 \cdot p_4 = m_3^2。
将这些关系代入上式，我们得到：
s + t + u = 3m_1^2 + m_2^2 + m_3^2 + m_4^2 + 2(m_1^2 - m_2^2 - m_3^2)
合并同类项，我们最终得到：
s + t + u = m_1^2 + m_2^2 + m_3^2 + m_4^2
因此，我们证明了s + t + u等于四个粒子的质量平方和。
