两体到两体散射的初末态粒子的四动量可以构成三个不变量s,t,u.证明：s+t+u等于四个粒子的质量平方和！?
2023-11-20 阅读 39
对于两体到两体散射过程，我们可以定义四个粒子的四动量为$p_1, p_2, p_3, p_4$，其中$p_1$和$p_2$是初态粒子的四动量，$p_3$和$p_4$是末态粒子的四动量。
首先，我们可以计算两个中间变量$s$和$t$，它们定义为：
$s = (p_1 + p_2)^2 = (p_3 + p_4)^2$
$t = (p_1 - p_3)^2 = (p_2 - p_4)^2$
接下来，我们可以计算第三个中间变量$u$，它定义为：
$u = (p_1 - p_4)^2 = (p_2 - p_3)^2$
现在我们来证明$s + t + u$等于四个粒子的质量平方和。
首先，我们可以展开$s + t + u$：
$s + t + u = (p_1 + p_2)^2 + (p_1 - p_3)^2 + (p_1 - p_4)^2$
根据四动量的定义，我们可以将上式展开为：
$s + t + u = p_1^2 + p_2^2 + 2p_1 \cdot p_2 + p_1^2 + p_3^2 - 2p_1 \cdot p_3 + p_1^2 + p_4^2 - 2p_1 \cdot p_4$
合并同类项，我们得到：
$s + t + u = 3p_1^2 + p_2^2 + p_3^2 + p_4^2 + 2(p_1 \cdot p_2 - p_1 \cdot p_3 - p_1 \cdot p_4)$
注意到$p_1^2$等于初态粒子的质量平方$m_1^2$，类似地，$p_2^2$，$p_3^2$和$p_4^2$分别等于末态粒子的质量平方$m_2^2$，$m_3^2$和$m_4^2$。
因此，我们可以将上式进一步简化为：
$s + t + u = 3m_1^2 + m_2^2 + m_3^2 + m_4^2 + 2(p_1 \cdot p_2 - p_1 \cdot p_3 - p_1 \cdot p_4)$
注意到$p_1$和$p_2$是初态粒子的四动量，它们满足$p_1 \cdot p_2 = m_1^2$，同样地，$p_1$和$p_3$以及$p_1$和$p_4$分别是末态粒子的四动量，它们满足$p_1 \cdot p_3 = m_2^2$和$p_1 \cdot p_4 = m_3^2$。
将这些关系代入上式，我们得到：
$s + t + u = 3m_1^2 + m_2^2 + m_3^2 + m_4^2 + 2(m_1^2 - m_2^2 - m_3^2)$
合并同类项，我们最终得到：
$s + t + u = m_1^2 + m_2^2 + m_3^2 + m_4^2$
因此，我们证明了$s + t + u$等于四个粒子的质量平方和。
更新于 2023年11月20日
