怎么理解矩阵10所对应的线性变换?
2024-11-19 阅读 27
矩阵10对应的线性变换可以通过矩阵乘法来理解。对于一个二维向量(x, y)，如果我们将矩阵10与这个向量相乘，即10 * (x, y)，得到的结果就是矩阵10所对应的线性变换作用在向量(x, y)上的结果。
具体来说，矩阵10对应的线性变换可以表示为一个将向量(x, y)中的每个分量都乘以10的变换。例如，如果我们有一个向量(2, 3)，那么矩阵10作用在这个向量上的结果就是(102, 103)，即(20, 30)。
总的来说，理解矩阵10对应的线性变换就是理解如何通过矩阵乘法来对一个向量进行线性变换，具体的变换效果取决于矩阵中的元素。
更新于 2024年11月22日
可以上b站搜索3blue1brown的合集线性代数中的第三个视频，里面讲解的非常详细。当然直接推一个视频是非常不负责任的，我这里比较不严谨的回答一下（用我的笔记和截屏），不想看这么多可以直接跳到最后。
首先考虑坐标为（-1，2）的向量v，其由-1个i与2个j构成（空间的一组基为i，j）
缩放向量再相加线性变换可以看作说是作用在基上的变换（也就是说（-1，2）这个线性组合本质上没有发生改变），也就是对整个空间作的变换。（这个矩阵称为过渡矩阵）
简单运算过后，我们变换后（在新的线性空间里）的向量（-1，2）在原空间写作（5，2）
我们使用了这样一个矩阵对基作线性变换，运用这样的方式，任给一个向量我们都能找到线性变换变化后的位置
由此我们可以说，任意一个矩阵乘向量的线性变换都可以转化为对向量空间的基的变换
这与“缩放向量再相加一致”由此我们可以得到矩阵乘法的一种观点（考研中会称这作按列分块的矩阵乘法）
我们把线性变换后的矩阵的列看作变换后的基向量，矩阵乘向量即对基进行线性组合（线性组合的系数就是向量的元素）
例如将向量逆时针旋转90度的矩阵
将空间线性变换为45度(类似于高中学到的斜二测画法)
将这两个独立的线性变换复合，毫无疑问，这个新得到的矩阵就是两个矩阵的积由此我想我可以更好的回答你的问题，你提问的线性变换中，其中一个基（i）不变仍为[1,0],另一个基转变为[0,0]，这其实就把原来向量的基（j）所表示的信息给压缩了，这个方向上不再有任何东西，它"扁了"(维度降低了或者怎么说，比较抽象的理解，要通过图形变换来理解可以去看他更多的视频)
