量子力学中为何那么关注本征值和本征函数？
2024-11-19 阅读 12
更新于 2024年11月21日
算符的本征值是最值得关心的：它对应着系统测量时可能的结果。本征函数可以说是“副产品”，在量子力学里因为可以用来当作基组展开任意的量子态波函数，有点用；在量子统计中关心的不多。用二次量子化表象，形式地研究问题的话，就根本不出现本征函数。只有在具体做数值计算的时候才会用到本征态。
从观察的角度，我们可以这么简单地理解本征值和本证态。
假设一个粒子，初始的量子态为任意 |\psi\rangle|\psi\rangle 。我们对它进行一个观察M，观察后使得它的状态变为某个 |\phi\rangle|\phi\rangle （下式中出现一个 \lambda\lambda 是因为，量子态是一个ray而不是一个vector）。
M|\psi\rangle\rightarrow \lambda|\phi\rangleM|\psi\rangle\rightarrow \lambda|\phi\rangle
现在，我们立刻对它进行多次重复的观察。由于观察必须是可复现的（否则的话我们无法得到一个一致的关于现实的经验），那么它必然得到相同的结果。我们假设观察过程是幺正的，那么相同的结果必然对应着相同的量子态。也就是说。
M|\phi\rangle\rightarrow \lambda|\phi\rangleM|\phi\rangle\rightarrow \lambda|\phi\rangle
也就是说，满足上述条件的构成一个观察。这就是本证态和本征值啊。
因为这其实是个事后总结，没有为什么。或者这就是个公理，一个假设，也就是观测值必定为某一个Hermitian Operator的本征值。而这个原理从物理学上无法给出一个更基本的东西，当然你可以从数学上来说本征函数可以作为一组完备正交基什么的，但是这个都不能说明为什么观测值必定是本征值。所以说白了这就是个事后总结，然后我们把它设定成公理
力学总是要关心时间演化问题，或者说物理就是关心时间演化问题。统计物理是在演化求解不了时，仍想知道一些东西。
当求得了H的本征值，就求得了时间演化。就像匀加速运动算出1/2 at^2
