量子力学中为何那么关注本征值和本征函数？
2024-11-19 阅读 27
量子力学中关注本征值和本征函数是因为它们在描述量子系统的性质和演化过程中起着非常重要的作用。本征值是描述量子系统在测量某个物理量时可能得到的结果，而本征函数则是描述这些本征值对应的态。通过求解本征值和本征函数，我们可以得到量子系统的能量、动量、角动量等物理量的允许取值，以及相应的态。
本征值和本征函数也是量子力学中求解薛定谔方程的关键步骤。通过将薛定谔方程表示为本征值问题，我们可以找到系统的允许能级和相应的波函数。这些本征函数描述了量子系统的态空间，而本征值则对应着系统的特定性质。因此，研究本征值和本征函数可以帮助我们理解和预测量子系统的行为，从而揭示量子世界的奇妙之处。
更新于 2024年11月21日
算符的本征值是最值得关心的：它对应着系统测量时可能的结果。本征函数可以说是“副产品”，在量子力学里因为可以用来当作基组展开任意的量子态波函数，有点用；在量子统计中关心的不多。用二次量子化表象，形式地研究问题的话，就根本不出现本征函数。只有在具体做数值计算的时候才会用到本征态。
从观察的角度，我们可以这么简单地理解本征值和本证态。
假设一个粒子，初始的量子态为任意 |\psi\rangle|\psi\rangle 。我们对它进行一个观察M，观察后使得它的状态变为某个 |\phi\rangle|\phi\rangle （下式中出现一个 \lambda\lambda 是因为，量子态是一个ray而不是一个vector）。
M|\psi\rangle\rightarrow \lambda|\phi\rangleM|\psi\rangle\rightarrow \lambda|\phi\rangle
现在，我们立刻对它进行多次重复的观察。由于观察必须是可复现的（否则的话我们无法得到一个一致的关于现实的经验），那么它必然得到相同的结果。我们假设观察过程是幺正的，那么相同的结果必然对应着相同的量子态。也就是说。
M|\phi\rangle\rightarrow \lambda|\phi\rangleM|\phi\rangle\rightarrow \lambda|\phi\rangle
也就是说，满足上述条件的构成一个观察。这就是本证态和本征值啊。
因为这其实是个事后总结，没有为什么。或者这就是个公理，一个假设，也就是观测值必定为某一个Hermitian Operator的本征值。而这个原理从物理学上无法给出一个更基本的东西，当然你可以从数学上来说本征函数可以作为一组完备正交基什么的，但是这个都不能说明为什么观测值必定是本征值。所以说白了这就是个事后总结，然后我们把它设定成公理
力学总是要关心时间演化问题，或者说物理就是关心时间演化问题。统计物理是在演化求解不了时，仍想知道一些东西。
当求得了H的本征值，就求得了时间演化。就像匀加速运动算出1/2 at^2
至少其它力学量，可以理解为广义演化，例如p是平移。
从算符角度，知道其本征值本征态，才算是了解了这个算符。
试想你解运动方程出来，不用本征态做基试试？一想到具体问题的方程要翻数学书去找解是不是很为难.
所谓量子化，就是量子化的本征值，它们是其实是广义动量或者说频率，或者说是态空间多出来的内禀对称性，只要不改变作用量，这种对称性就会存在. 当然还有离散的对称性会给出相因子，不过我这里不谈这个.
量子化的频用来标记物理上的运动状态，这样一个解方程的游戏就变成加减乘除与求平均值.
这就是关注本征值和本征态的原因，因为就是要用到根据特定物理量分解出来的本征模式，然后来算观测值.
因为根据量子力学基本假设，一个系统的全部信息都由本征矢给出。而一个本征对应了一次给出特定本征值和本质矢的测量过程。而测量包括了所有的物理过程。所以量子力学中关注本征值和本征矢。ps：本征函数只是本征矢在特定的表象下的投影，故用本征矢更为严谨。
“本征值对应系统测量时可能的结果”是对的。但本征函数有时也是跟本征值即测量结果绑定在一起的。比如，能量本征函数有时是动量本征态的叠加态，那么如果测量能量-动量谱的时候，动量也包括在测量结果里，但动量又是能量本征函数的参数。ARPES测量结果里，谱跟测量光子的能量有关，这个情况现在好像没有好的微观解释，恐怕就是因为电子态的本征函数其实并没有搞清楚。所以不能说本征函数不重要。
答:
本征函数的本征值，是方程的解。是最基本的实验观测数据，是必须的原始的观测数据。
