在边长不等的矩形中，可以内切多少个等大的圆，使这些圆的总面积最大？
2023-04-21 阅读 48
首先，我们可以将矩形的长和宽分别记为 $a$ 和 $b$，其中 $a > b$。设每个圆的半径为 $r$，则圆的个数为 $(\lfloor\frac{a}{2r}\rfloor)(\lfloor\frac{b}{2r}\rfloor)$，其中 $\lfloor x \rfloor$ 表示不超过 $x$ 的最大整数。
现在的问题是如何确定每个圆的半径 $r$，使得这些圆的总面积最大。我们知道，在矩形的中心处画一个圆，它的半径为 $r = \frac{1}{2}\text{min}(a, b)$，这是可以内切矩形的最大圆。因此，我们可以将 $r$ 限制在 $0 < r \leq \frac{1}{2}\text{min}(a, b)$ 的范围内。
现在，我们需要求出当圆的半径为 $r$ 时，所有圆的总面积。由于每个圆的面积为 $\pi r^2$，因此总面积为 $(\lfloor\frac{a}{2r}\rfloor)(\lfloor\frac{b}{2r}\rfloor)\pi r^2$。我们可以将这个式子化简为 $\lfloor\frac{ab\pi}{4r^2}\rfloor r^2$，其中 $ab\pi$ 是一个常数。
由于 $r$ 的取值范围是一个有限区间，因此总面积也是一个关于 $r$ 的有限函数。我们可以通过枚举 $r$ 的取值，找出使总面积最大的 $r$。具体地，我们可以从 $\frac{1}{2}\text{min}(a, b)$ 开始，每次减小 $0.001$ 的步长，计算出对应的总面积，直到找到一个局部最大值。
综上所述，我们可以通过以下步骤来解决这个问题：
1. 计算出矩形的长和宽，记为 $a$ 和 $b$；
2. 计算出圆的半径的取值范围，记为 $0 < r \leq \frac{1}{2}\text{min}(a, b)$；
3. 枚举 $r$ 的取值，计算出对应的总面积；
4. 找出使总面积最大的 $r$。
更新于 2023年04月21日
