简谐波上任意一处微元的运动学方程，怎么用拉格朗日力学推出？
2024-11-26 阅读 12
简谐振动的微元运动学方程可以通过拉格朿日力学推导出来。首先，我们假设简谐振动的微元在坐标$x$处的位移为$u(x, t)$，那么微元的动能可以表示为$T = \frac{1}{2}m\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^2$，其中$m$为微元的质量。
微元受到的拉力可以表示为$F = -k u$，其中$k$为弹簧的劲度系数。根据拉格朗日力学，微元的运动方程可以表示为$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{u}}\right) - \frac{\partial T}{\partial u} = F$。
将动能$T$代入上式，我们可以得到$\frac{d}{dt}\left(m\frac{\partial u}{\partial t}\right) + k u = 0$。整理得到微元的简谐振动方程为$m\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} + k u = 0$。
这就是简谐振动微元的运动学方程，可以通过拉格朗日力学推导得到。
更新于 2024年11月26日
