怎么从流体的拉格朗日量出发推导流体力学中的欧拉方程？
2024-03-13 阅读 14
从流体的拉格朗日量出发推导流体力学中的欧拉方程可以通过以下步骤：
1. 首先，写出流体的拉格朗日量，一般形式为$L = \int_{V} \mathcal{L} dV$，其中$\mathcal{L}$是拉格朗日密度，$V$是流体的体积。
2. 利用变分法，对拉格朗日量$L$进行变分，即$\delta L = \delta \int_{V} \mathcal{L} dV$。
3. 利用变分与积分的交换性质，将变分操作符$\delta$移到积分号内，得到$\delta L = \int_{V} \delta \mathcal{L} dV$。
4. 根据欧拉-拉格朗日方程，变分$\delta L$可以表示为$\delta L = \int_{V} \left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q} \delta q + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\frac{\partial q}{\partial t}\right)} \delta \left(\frac{\partial q}{\partial t}\right)\right) dV$，其中$q$表示流体的广义坐标。
5. 将第4步得到的$\delta L$与第3步得到的$\delta L$相等，得到$\int_{V} \left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q} \delta q + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\frac{\partial q}{\partial t}\right)} \delta \left(\frac{\partial q}{\partial t}\right)\right) dV = \int_{V} \delta \mathcal{L} dV$。
6. 利用分部积分法，将上式中的$\delta q$和$\delta \left(\frac{\partial q}{\partial t}\right)$转化为体积的边界项，再应用欧拉-拉格朗日方程，最终得到流体力学中的欧拉方程。
这样就可以从流体的拉格朗日量出发推导流体力学中的欧拉方程。
更新于 2024年11月20日
