为什么一个力学系统一定存在运动积分？
2023-10-30 阅读 96
一个力学系统存在运动积分的原因是由于系统的拉格朗日方程具有某种特殊的对称性。
根据拉格朗日力学的基本原理，一个力学系统的运动可以由拉格朗日方程描述。拉格朗日方程可以写成以下形式：
d/dt (∂L/∂q̇i) - (∂L/∂qi) = 0
其中L是系统的拉格朗日量，q是广义坐标，q̇是广义速度。方程右侧的项为零表示系统的运动满足拉格朗日方程。
如果系统的拉格朗日量L具有某种对称性，即L在广义坐标或广义速度的变换下保持不变，那么可以证明系统存在一个与该对称性相对应的守恒量，即运动积分。
例如，如果系统的拉格朗日量L在广义坐标q的变换下保持不变，即L(q) = L'(q')，那么可以证明系统的能量E = (∂L/∂q̇)q̇ - L 是一个守恒量。这意味着系统的能量在运动过程中保持不变。
类似地，如果系统的拉格朗日量L在广义速度q̇的变换下保持不变，即L(q̇) = L'(q̇')，那么可以证明系统的动量P = (∂L/∂q̇) 是一个守恒量。这意味着系统的动量在运动过程中保持不变。
总之，一个力学系统存在运动积分的原因是由于系统的拉格朗日量具有某种对称性，这种对称性导致了守恒量的存在，从而保证了系统在运动过程中某些物理量的不变性。
更新于 2023年10月30日
