如何证明几何相位为态在bloch球上演化的路径围成面积的立体角的一半 ?
2023-06-14 阅读 33
证明几何相位为态在Bloch球上演化的路径围成面积的立体角的一半，可以通过以下步骤进行：
1. 首先，我们需要知道态在Bloch球上的表示方式。对于一个单量子比特系统，其波函数可以表示为：
$$|\psi\rangle = \cos\frac{\theta}{2}|0\rangle + e^{i\phi}\sin\frac{\theta}{2}|1\rangle$$
其中，$\theta$ 和 $\phi$ 分别是态在Bloch球上的极角和方位角。
2. 接下来，我们考虑一个态 $|\psi\rangle$ 在Bloch球上的演化路径，假设其经过了一系列的旋转操作，使得态从初始位置 $|\psi_0\rangle$ 演化到了最终位置 $|\psi_f\rangle$。这些旋转操作可以表示为一系列的旋转矩阵 $R_i$，它们按照一定的顺序作用在初态上，得到最终态：
$$|\psi_f\rangle = R_n R_{n-1} \cdots R_2 R_1 |\psi_0\rangle$$
3. 我们知道，对于一个旋转矩阵 $R_i$，其作用在Bloch球上的效果是将球上的一个面元旋转到另一个面元。这个面元的面积可以用其对应的立体角来表示。因此，我们可以将每个旋转矩阵 $R_i$ 对应的立体角相加，来计算整个演化路径围成的立体角。
4. 由于几何相位的定义是一个相对相位，在这里我们可以将初始态 $|\psi_0\rangle$ 作为参考态，将其对应的面元的面积设为零。这样，我们就可以将整个演化路径围成的立体角分解为两个部分：一个是初始态 $|\psi_0\rangle$ 到最终态 $|\psi_f\rangle$ 的立体角，另一个是初始态 $|\psi_0\rangle$ 到参考态的立体角。
5. 对于第一个部分，我们可以将最终态 $|\psi_f\rangle$ 表示为极角和方位角的形式，然后计算其对应的立体角。具体来说，我们可以将最终态表示为：
$$|\psi_f\rangle = \cos\frac{\theta_f}{2}|0\rangle + e^{i\phi_f}\sin\frac{\theta_f}{2}|1\rangle$$
其中，$\theta_f$ 和 $\phi_f$ 分别是最终态在Bloch球上的极角和方位角。然后，我们可以使用球面三角学的知识，计算初始态 $|\psi_0\rangle$ 到最终态 $|\psi_f\rangle$ 的立体角。
6. 对于第二个部分，我们可以将参考态表示为 $|\psi_0\rangle = |0\rangle$，这样其对应的面元的面积为零。然后，我们可以计算初始态 $|\psi_0\rangle$ 到参考态 $|0\rangle$ 的立体角。这个立体角可以用球面三角学的知识计算得到。
7. 最后，我们将第一个部分和第二个部分的立体角相加，就得到了整个演化路径围成的立体角。根据几何相位的定义，这个立体角的一半就是几何相位。
综上所述，我们可以通过以上步骤证明几何相位为态在Bloch球上演化的路径围成面积的立体角的一半。
更新于 2023年06月14日
