请问1.6.7如何证？若正确，那岂不是可写成群外直积的群的中心为单位元群？但考虑C2✖️C2显然错误?
2023-06-17 阅读 24
对于一个群$G$，如果$Z(G)$是$G$的中心，则$G/Z(G)$是$G$的内部自同构群。因此，我们可以考虑证明$G/Z(G)$是一个可交换群，从而得出$Z(G)$是$G$的中心。
对于$G/Z(G)$中的任意两个元素$g_1Z(G)$和$g_2Z(G)$，我们有$(g_1Z(G))(g_2Z(G))=g_1g_2Z(G)=g_2g_1Z(G)=(g_2Z(G))(g_1Z(G))$，因此$G/Z(G)$是一个可交换群。
但是，你提到的例子$C_2\times C_2$的中心是$\{(0,0),(1,1)\}$，不是单位元素。因此，你的结论不正确。
更新于 2023年06月20日
