请问1.6.7如何证？若正确，那岂不是可写成群外直积的群的中心为单位元群？但考虑C2✖️C2显然错误?
2023-06-17 阅读 38
对于一个群G，如果Z(G)是G的中心，则G/Z(G)是G的内部自同构群。因此，我们可以考虑证明G/Z(G)是一个可交换群，从而得出Z(G)是G的中心。
对于G/Z(G)中的任意两个元素g_1Z(G)和g_2Z(G)，我们有(g_1Z(G))(g_2Z(G))=g_1g_2Z(G)=g_2g_1Z(G)=(g_2Z(G))(g_1Z(G))，因此G/Z(G)是一个可交换群。
但是，你提到的例子C_2\times C_2的中心是\{(0,0),(1,1)\}，不是单位元素。因此，你的结论不正确。
更新于 2023年06月20日
