开普勒第三定律，如何推导？
2024-11-22 阅读 11
开普勒第三定律可以通过牛顿的引力定律和牛顿的运动定律来推导。
首先，根据牛顿的引力定律，两个物体之间的引力与它们的质量和距离的平方成正比，可以表示为：
\[ F = \frac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{r^2} \]
其中，\( F \) 是两个物体之间的引力，\( G \) 是引力常数，\( m_1 \) 和 \( m_2 \) 分别是两个物体的质量，\( r \) 是它们之间的距离。
其次，根据牛顿的运动定律，一个物体的运动状态取决于受到的力和质量。在行星绕太阳公转的情况下，行星受到的向心力是引力，可以表示为：
\[ F = \frac{m \cdot v^2}{r} \]
其中，\( m \) 是行星的质量，\( v \) 是行星的速度，\( r \) 是行星到太阳的距离。
将以上两个公式相等，得到：
\[ \frac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{r^2} = \frac{m \cdot v^2}{r} \]
进一步整理可得：
\[ \frac{m \cdot v^2}{r} = \frac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{r^2} \]
\[ v^2 = \frac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{r} \]
由于行星公转的速度与其轨道半径 \( r \) 有关，因此我们可以得出行星公转的速度平方与它的轨道半径的立方成正比的关系。这就是开普勒第三定律的数学表达形式。
更新于 2024年11月24日
