行星椭圆运动方程。哪位朋友能详细讲解一下？
2023-05-29 阅读 24
行星在椭圆轨道上运动的方程可以用开普勒第二定律和牛顿万有引力定律推导得到。以下是详细的讲解：
首先，根据开普勒第二定律，行星在椭圆轨道上的面积速率是恒定的。也就是说，行星在任意时间间隔内所扫过的面积是相等的。这个面积速率可以表示为：
$$\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2}r^2\frac{d\theta}{dt}$$
其中，$A$表示行星在椭圆轨道上扫过的面积，$r$表示行星到太阳的距离，$\theta$表示行星和太阳之间的角度。
接下来，根据牛顿万有引力定律，太阳对行星的引力可以表示为：
$$F = G\frac{m_1m_2}{r^2}$$
其中，$G$表示万有引力常数，$m_1$和$m_2$分别表示太阳和行星的质量，$r$表示行星到太阳的距离。
由于行星在椭圆轨道上运动，因此它的运动可以分解为径向和切向两个分量。径向分量的大小可以表示为：
$$F_r = -G\frac{m_1m_2}{r^2}cos\theta$$
切向分量的大小可以表示为：
$$F_t = G\frac{m_1m_2}{r^2}sin\theta$$
根据牛顿第二定律，行星的加速度可以表示为：
$$a_r = \frac{F_r}{m_2} = -G\frac{m_1}{r^2}cos\theta$$
$$a_t = \frac{F_t}{m_2} = G\frac{m_1}{r^2}sin\theta$$
其中，$m_2$表示行星的质量。
由于行星的运动是在平面上进行的，因此我们可以将加速度分解为径向和切向两个分量。径向加速度的大小可以表示为：
$$a_r = \frac{d^2r}{dt^2} = -\frac{GM}{r^2}cos\theta$$
其中，$M$表示太阳的质量。
由于行星的运动是在椭圆轨道上进行的，因此我们可以将行星的位置表示为极坐标形式：
$$r = \frac{p}{1+e\ cos\theta}$$
其中，$p$表示椭圆的半通径，$e$表示椭圆的离心率。离心率是一个描述椭圆形状的参数，它的取值范围是$0\leq e<1$。当离心率为0时，椭圆退化成为一个圆。
将上式对时间求导，可以得到径向速度：
$$\frac{dr}{dt} = \frac{p}{h}e\ sin\theta\frac{d\theta}{dt}$$
其中，$h$表示行星的角动量，它的大小可以表示为：
$$h = r^2\frac{d\theta}{dt}$$
将上式代入前面的径向加速度公式中，可以得到：
$$\frac{d^2r}{dt^2} = -\frac{GM}{r^2}\frac{p}{h^2}cos\theta + \frac{h^2}{p^3}\frac{dp}{dt}$$
将行星的位置$r$表示为极坐标形式后，我们可以将上式简化为：
$$\frac{d^2r}{dt^2} = -\frac{GM}{r^2}\frac{p}{h^2}cos\theta$$
这就是行星在椭圆轨道上的运动方程。
更新于 2023年05月30日
