1.麦克斯韦方程组\Large\mathcal{Maxwell's\ \ equations}\\ \begin{split} &\oint_S\bm{D}\cdot{\rm d}\bm{S}=q\\ &\oint_S\bm{B}\cdot{\rm d}\bm{S}=0\\ &\oint_l\bm{E}\cdot{\rm d}\bm{l}=-\int_S\frac{\partial \bm{B}}{\partial t}\cdot{\rm d}\bm{S}\\ &\oint_l\bm{H}\cdot{\rm d}\bm{l}=\int_S\left(\bm{j_{\rm c}}+\frac{\partial\bm{D}}{\partial t}\right)\cdot{\rm d}\bm{S} \end{split}\Large\mathcal{Maxwell's\ \ equations}\\ \begin{split} &\oint_S\bm{D}\cdot{\rm d}\bm{S}=q\\ &\oint_S\bm{B}\cdot{\rm d}\bm{S}=0\\ &\oint_l\bm{E}\cdot{\rm d}\bm{l}=-\int_S\frac{\partial \bm{B}}{\partial t}\cdot{\rm d}\bm{S}\\ &\oint_l\bm{H}\cdot{\rm d}\bm{l}=\int_S\left(\bm{j_{\rm c}}+\frac{\partial\bm{D}}{\partial t}\right)\cdot{\rm d}\bm{S} \end{split}

2.麦克斯韦关系式

\Large\mathcal{Maxwell\ \ relations}\\ \begin{split} {\rm d}U=\begin{vmatrix}\color{red}{T}&\color{blue}{p}\\\color{red}{{\rm d}V}&\color{blue}{{\rm d}S}\end{vmatrix}=T{\rm d}S-p{\rm d}V&\\ \left(\color{red}{\frac{\partial T}{\partial V}}\right)_S+\left(\color{blue}{\frac{\partial p}{\partial S}}\right)_V=0\\ {\rm d}H=\begin{vmatrix}\color{red}{T}&-\color{blue}{V}\\\color{red}{{\rm d}p}&\color{blue}{{\rm d}S}\end{vmatrix}=T{\rm d}S+V{\rm d}p&\\ \left(\color{red}{\frac{\partial T}{\partial p}}\right)_S-\left(\color{blue}{\frac{\partial V}{\partial S}}\right)_p=0\\ {\rm d}A=\begin{vmatrix}-\color{red}{S}&\color{blue}{p}\\\color{red}{{\rm d}V}&\color{blue}{{\rm d}T}\end{vmatrix}=-S{\rm d}T-p{\rm d}V&\\ -\left(\color{red}{\frac{\partial S}{\partial V}}\right)_T+\left(\color{blue}{\frac{\partial p}{\partial T}}\right)_V=0\\ {\rm d}G=\begin{vmatrix}-\color{red}{S}&-\color{blue}{V}\\\color{red}{{\rm d}p}&\color{blue}{{\rm d}T}\end{vmatrix}=-S{\rm d}T+V{\rm d}p&\\ -\left(\color{red}{\frac{\partial S}{\partial p}}\right)_T-\left(\color{blue}{\frac{\partial V}{\partial T}}\right)_p=0\\ \end{split}\Large\mathcal{Maxwell\ \ relations}\\ \begin{split} {\rm d}U=\begin{vmatrix}\color{red}{T}&\color{blue}{p}\\\color{red}{{\rm d}V}&\color{blue}{{\rm d}S}\end{vmatrix}=T{\rm d}S-p{\rm d}V&\\ \left(\color{red}{\frac{\partial T}{\partial V}}\right)_S+\left(\color{blue}{\frac{\partial p}{\partial S}}\right)_V=0\\ {\rm d}H=\begin{vmatrix}\color{red}{T}&-\color{blue}{V}\\\color{red}{{\rm d}p}&\color{blue}{{\rm d}S}\end{vmatrix}=T{\rm d}S+V{\rm d}p&\\ \left(\color{red}{\frac{\partial T}{\partial p}}\right)_S-\left(\color{blue}{\frac{\partial V}{\partial S}}\right)_p=0\\ {\rm d}A=\begin{vmatrix}-\color{red}{S}&\color{blue}{p}\\\color{red}{{\rm d}V}&\color{blue}{{\rm d}T}\end{vmatrix}=-S{\rm d}T-p{\rm d}V&\\ -\left(\color{red}{\frac{\partial S}{\partial V}}\right)_T+\left(\color{blue}{\frac{\partial p}{\partial T}}\right)_V=0\\ {\rm d}G=\begin{vmatrix}-\color{red}{S}&-\color{blue}{V}\\\color{red}{{\rm d}p}&\color{blue}{{\rm d}T}\end{vmatrix}=-S{\rm d}T+V{\rm d}p&\\ -\left(\color{red}{\frac{\partial S}{\partial p}}\right)_T-\left(\color{blue}{\frac{\partial V}{\partial T}}\right)_p=0\\ \end{split}

3.洛伦兹变换式

\Large\mathcal{Lorentz\ \ transformation\ equations}\\ \begin{cases} x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\ y'=y\\ z'=z\\ t'=\frac{t-\frac{vx}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \end{cases}\Large\mathcal{Lorentz\ \ transformation\ equations}\\ \begin{cases} x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\ y'=y\\ z'=z\\ t'=\frac{t-\frac{vx}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \end{cases}

4.质能方程

\Large\mathcal{Mass-energy\ \ equivalence\ \ equation}\\ E=mc^2\Large\mathcal{Mass-energy\ \ equivalence\ \ equation}\\ E=mc^2

5.薛定谔方程

\Large\mathcal{Schr\ddot{o}dinger\ \ equation}\\ \left(-\frac{h^2}{8\pi^2m}\nabla^2+\hat{V}\right)\psi=E\psi\Large\mathcal{Schr\ddot{o}dinger\ \ equation}\\ \left(-\frac{h^2}{8\pi^2m}\nabla^2+\hat{V}\right)\psi=E\psi

etc.

BCS理论中超导态能隙零温和非零温时的计算公式

\Delta(0)=2\hbar\omega_D\text e^{-\frac{1}{\mathcal N(0)V}}\Delta(0)=2\hbar\omega_D\text e^{-\frac{1}{\mathcal N(0)V}}

\displaystyle V_0\int^{+\infty}_0\frac{1}{\sqrt{\mathcal E^2+\Delta^2(T)}}\tanh \left(\frac{\beta}{2}\tanh\sqrt{\mathcal E^2+\Delta^2(T)} \right)\mathcal N(\mathcal E)\text d \mathcal E=1\displaystyle V_0\int^{+\infty}_0\frac{1}{\sqrt{\mathcal E^2+\Delta^2(T)}}\tanh \left(\frac{\beta}{2}\tanh\sqrt{\mathcal E^2+\Delta^2(T)} \right)\mathcal N(\mathcal E)\text d \mathcal E=1

这两个公式本身并没有什么令人惊叹的美感，真正令人惊叹的是John Bardeen，Leon Cooper和John Robert Schrieffer三个年龄差距巨大的人能组成一个和谐相处的团队，齐心协力攻克了困扰无数物理学家的超导难题。2024年10月23日，Leon Cooper在罗德岛逝世，终年94岁。摘录一些资料以纪念这段传奇故事和这位伟大的物理学家。

1956年美国物理学家、诺贝奖获得者约翰・巴丁组织了一个三人小组，决心解开超导之谜他的两个助手，一个是擅长理论演绎的物理学博士库珀；另一个是刚毕业的大学生罗伯特・施里弗，他考取了巴丁的研究生，选中了巴丁提出的十个研究课题中的第十个课题——超导。巴丁见他基础扎实、才思敏捷，便吸收他参加三人小组。他们三位老中青科学家结合，形成合理的智力结构，充分发挥了各自的特长和才华。经过一年多夜以继日的潜心探索，终于建立起完整的低温超导理论。后来，大家就用他们姓名的第一个字母，把他们创立的理论称为BCS理论。由他们在超导论方面的杰出贡献，三人共同获得1972年诺贝物理学奖。据李政道回忆，1953年暑期完后，巴丁对李政道这几篇极化子的文章非常感兴趣，很希望李政道能介绍一位年轻粒子物理和场论的专家去伊利诺伊大学，帮助研究超导问题。那时候在哥伦比亚大学有一位天赋很高的研究生库珀(L. Cooper)。他的博士论文是μ介原子(mu-mesonic atom)，他的导师和合作者是李政道的两位好友，哥伦比亚的瑟伯(R.Serber)教授和亨利(E.Henley)博士。在李政道的推荐与鼓励下，库珀在得到了哥伦比亚大学博士学位之后，先去普林斯顿高等研究院一年后，就加入了巴丁的凝聚态理论组。但是这个说法与巴丁、库珀和施瑞佛的说法相悖。他们三人1972年获得诺贝尔物理学奖，巴丁1973年有一篇总结性文章，施瑞佛1974年有一个采访。巴丁1991年去世，施瑞佛1992年有一篇回忆文章。1987年超导理论建立30年时，库珀有一篇回忆文章。2011年，库珀有一篇纪念BCS50年的文章。这些文章中都介绍了库珀是如何加入合作组的。在与李政道和洛合作之后，派因斯又和玻姆远程合作，推进他们关于金属中电子相互作用的研究，然后他又拓展到对电声子耦合的影响。此前不久，弗洛里希得到，因为交换声子，电子之间有效相互作用成为吸引作用。巴丁和派因斯则发现，费米面上声子导致的电子之间的有效作用与电子之间的带屏蔽效应的直接相互作用正好抵消，但是在费米面向内，由声子能量代表的某个小范围内，电子之间的总相互作用是吸引作用。这成了后来的超导理论的出发点。1953年，施瑞佛（John Schrieffer）成为巴丁的研究生，1955年春天，他从巴丁提供的10个博士论文题目中选择了超导，当时洛是他的统计力学老师，起了鼓励作用。这时巴丁认为建立超导理论的条件已经成熟，也认识到，超导与电子关联导致的费米面失稳有关，这反映在他1955年在《物理学手册》上的一篇综述文章中。派因斯擅长多体理论，但是他1955年初离开了“正确时间的正确地方“，去普林斯顿大学担任预聘助理教授（后来在那里也没有得到长聘，1959年回到伊利诺伊大学任教授，那时超导理论已经于1957年在此建立）。巴丁1973年回忆：“有件事越来越清楚，主要在高能物理里发展的场论方法将会是解决粒子间具有吸引作用的费米气多体问题的有用工具。1955年春天，我给杨振宁打电话，那时他在普林斯顿高等研究院，我问他是否认识精通场论而愿意研究超导的人。他建议了库珀。库珀正在那里做博士后，他从哥伦比亚大学获得核理论方面的博士学位。库珀1955年秋天来到伊利诺伊，开始研究超导微观理论。施瑞佛，一位优秀的研究生，本科毕业于麻省理工学院，正要开始做博士论文，想参加进来。他倾向赌一下这个难题，而非找个更直接的课题作为博士论文。库珀和我共用办公室，施瑞佛经常来访，所以我们合作紧密。”

麦克斯韦方程组之所以令人惊叹，首先在于它们以一种近乎奇迹般的方式，将电学和磁学这两个看似独立却又紧密相关的领域完美地统一在了一起。在此之前，电和磁的研究一直是物理学家们面临的巨大挑战，而麦克斯韦通过他的方程组，将这两个领域融合成了一个连贯且统一的电磁学体系。这一理论上的突破，不仅极大地推动了物理学的发展，也为我们理解和解释自然界中的电磁现象提供了强有力的工具。

更令人惊叹的是，麦克斯韦方程组不仅解释了当时已知的电磁现象，还预言了电磁波的存在。这一预言在当时是革命性的，因为人们从未想象过电磁波这种无形无质的存在。然而，赫兹后来的实验成功地证实了电磁波的存在，这一事实无疑进一步证明了麦克斯韦方程组的准确性和前瞻性。

此外，麦克斯韦方程组在数学上的优美和简洁性也令人叹为观止。它们以四个简洁的方程，描述了电磁场的所有基本规律，这种高度的概括性和精确性使得它们被誉为物理学中最美的公式之一。这种数学上的美感不仅吸引了无数科学家的目光，也激发了他们对物理学的热爱和追求。

除了在数学和理论上的贡献外，麦克斯韦方程组还对现代科学技术的发展产生了深远的影响。它们为电磁学的应用提供了坚实的理论基础，使得我们能够发明和创造出各种实用的电磁设备和技术，如无线电、电视、雷达等。这些技术的出现，不仅极大地改善了我们的生活品质，也推动了人类社会的进步和发展。

更重要的是，麦克斯韦方程组所体现的物理规律和思想，对现代物理学的发展产生了重要的影响。它们为狭义相对论和量子力学的形成提供了关键的理论支持，推动了物理学从经典力学向现代物理学的转变。同时，它们所展现的对称性和内在的数学美感，也为我们理解和探索自然界的奥秘提供了新的视角和方法。