物理学中有哪些令人惊叹的定律或方程？
2024-11-19 阅读 87
更新于 2024年11月21日
1.麦克斯韦方程组\Large\mathcal{Maxwell's\ \ equations}\\ \begin{split} &\oint_S\bm{D}\cdot{\rm d}\bm{S}=q\\ &\oint_S\bm{B}\cdot{\rm d}\bm{S}=0\\ &\oint_l\bm{E}\cdot{\rm d}\bm{l}=-\int_S\frac{\partial \bm{B}}{\partial t}\cdot{\rm d}\bm{S}\\ &\oint_l\bm{H}\cdot{\rm d}\bm{l}=\int_S\left(\bm{j_{\rm c}}+\frac{\partial\bm{D}}{\partial t}\right)\cdot{\rm d}\bm{S} \end{split}\Large\mathcal{Maxwell's\ \ equations}\\ \begin{split} &\oint_S\bm{D}\cdot{\rm d}\bm{S}=q\\ &\oint_S\bm{B}\cdot{\rm d}\bm{S}=0\\ &\oint_l\bm{E}\cdot{\rm d}\bm{l}=-\int_S\frac{\partial \bm{B}}{\partial t}\cdot{\rm d}\bm{S}\\ &\oint_l\bm{H}\cdot{\rm d}\bm{l}=\int_S\left(\bm{j_{\rm c}}+\frac{\partial\bm{D}}{\partial t}\right)\cdot{\rm d}\bm{S} \end{split}
2.麦克斯韦关系式
\Large\mathcal{Maxwell\ \ relations}\\ \begin{split} {\rm d}U=\begin{vmatrix}\color{red}{T}&\color{blue}{p}\\\color{red}{{\rm d}V}&\color{blue}{{\rm d}S}\end{vmatrix}=T{\rm d}S-p{\rm d}V&\\ \left(\color{red}{\frac{\partial T}{\partial V}}\right)_S+\left(\color{blue}{\frac{\partial p}{\partial S}}\right)_V=0\\ {\rm d}H=\begin{vmatrix}\color{red}{T}&-\color{blue}{V}\\\color{red}{{\rm d}p}&\color{blue}{{\rm d}S}\end{vmatrix}=T{\rm d}S+V{\rm d}p&\\ \left(\color{red}{\frac{\partial T}{\partial p}}\right)_S-\left(\color{blue}{\frac{\partial V}{\partial S}}\right)_p=0\\ {\rm d}A=\begin{vmatrix}-\color{red}{S}&\color{blue}{p}\\\color{red}{{\rm d}V}&\color{blue}{{\rm d}T}\end{vmatrix}=-S{\rm d}T-p{\rm d}V&\\ -\left(\color{red}{\frac{\partial S}{\partial V}}\right)_T+\left(\color{blue}{\frac{\partial p}{\partial T}}\right)_V=0\\ {\rm d}G=\begin{vmatrix}-\color{red}{S}&-\color{blue}{V}\\\color{red}{{\rm d}p}&\color{blue}{{\rm d}T}\end{vmatrix}=-S{\rm d}T+V{\rm d}p&\\ -\left(\color{red}{\frac{\partial S}{\partial p}}\right)_T-\left(\color{blue}{\frac{\partial V}{\partial T}}\right)_p=0\\ \end{split}\Large\mathcal{Maxwell\ \ relations}\\ \begin{split} {\rm d}U=\begin{vmatrix}\color{red}{T}&\color{blue}{p}\\\color{red}{{\rm d}V}&\color{blue}{{\rm d}S}\end{vmatrix}=T{\rm d}S-p{\rm d}V&\\ \left(\color{red}{\frac{\partial T}{\partial V}}\right)_S+\left(\color{blue}{\frac{\partial p}{\partial S}}\right)_V=0\\ {\rm d}H=\begin{vmatrix}\color{red}{T}&-\color{blue}{V}\\\color{red}{{\rm d}p}&\color{blue}{{\rm d}S}\end{vmatrix}=T{\rm d}S+V{\rm d}p&\\ \left(\color{red}{\frac{\partial T}{\partial p}}\right)_S-\left(\color{blue}{\frac{\partial V}{\partial S}}\right)_p=0\\ {\rm d}A=\begin{vmatrix}-\color{red}{S}&\color{blue}{p}\\\color{red}{{\rm d}V}&\color{blue}{{\rm d}T}\end{vmatrix}=-S{\rm d}T-p{\rm d}V&\\ -\left(\color{red}{\frac{\partial S}{\partial V}}\right)_T+\left(\color{blue}{\frac{\partial p}{\partial T}}\right)_V=0\\ {\rm d}G=\begin{vmatrix}-\color{red}{S}&-\color{blue}{V}\\\color{red}{{\rm d}p}&\color{blue}{{\rm d}T}\end{vmatrix}=-S{\rm d}T+V{\rm d}p&\\ -\left(\color{red}{\frac{\partial S}{\partial p}}\right)_T-\left(\color{blue}{\frac{\partial V}{\partial T}}\right)_p=0\\ \end{split}
3.洛伦兹变换式
\Large\mathcal{Lorentz\ \ transformation\ equations}\\ \begin{cases} x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\ y'=y\\ z'=z\\ t'=\frac{t-\frac{vx}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \end{cases}\Large\mathcal{Lorentz\ \ transformation\ equations}\\ \begin{cases} x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\ y'=y\\ z'=z\\ t'=\frac{t-\frac{vx}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \end{cases}
4.质能方程
\Large\mathcal{Mass-energy\ \ equivalence\ \ equation}\\ E=mc^2\Large\mathcal{Mass-energy\ \ equivalence\ \ equation}\\ E=mc^2
5.薛定谔方程
\Large\mathcal{Schr\ddot{o}dinger\ \ equation}\\ \left(-\frac{h^2}{8\pi^2m}\nabla^2+\hat{V}\right)\psi=E\psi\Large\mathcal{Schr\ddot{o}dinger\ \ equation}\\ \left(-\frac{h^2}{8\pi^2m}\nabla^2+\hat{V}\right)\psi=E\psi
etc.
BCS理论中超导态能隙零温和非零温时的计算公式
\Delta(0)=2\hbar\omega_D\text e^{-\frac{1}{\mathcal N(0)V}}\Delta(0)=2\hbar\omega_D\text e^{-\frac{1}{\mathcal N(0)V}}
\displaystyle V_0\int^{+\infty}_0\frac{1}{\sqrt{\mathcal E^2+\Delta^2(T)}}\tanh \left(\frac{\beta}{2}\tanh\sqrt{\mathcal E^2+\Delta^2(T)} \right)\mathcal N(\mathcal E)\text d \mathcal E=1\displaystyle V_0\int^{+\infty}_0\frac{1}{\sqrt{\mathcal E^2+\Delta^2(T)}}\tanh \left(\frac{\beta}{2}\tanh\sqrt{\mathcal E^2+\Delta^2(T)} \right)\mathcal N(\mathcal E)\text d \mathcal E=1
这两个公式本身并没有什么令人惊叹的美感，真正令人惊叹的是John Bardeen，Leon Cooper和John Robert Schrieffer三个年龄差距巨大的人能组成一个和谐相处的团队，齐心协力攻克了困扰无数物理学家的超导难题。2024年10月23日，Leon Cooper在罗德岛逝世，终年94岁。摘录一些资料以纪念这段传奇故事和这位伟大的物理学家。
1956年美国物理学家、诺贝奖获得者约翰・巴丁组织了一个三人小组，决心解开超导之谜他的两个助手，一个是擅长理论演绎的物理学博士库珀；另一个是刚毕业的大学生罗伯特・施里弗，他考取了巴丁的研究生，选中了巴丁提出的十个研究课题中的第十个课题——超导。巴丁见他基础扎实、才思敏捷，便吸收他参加三人小组。他们三位老中青科学家结合，形成合理的智力结构，充分发挥了各自的特长和才华。经过一年多夜以继日的潜心探索，终于建立起完整的低温超导理论。后来，大家就用他们姓名的第一个字母，把他们创立的理论称为BCS理论。由他们在超导论方面的杰出贡献，三人共同获得1972年诺贝物理学奖。据李政道回忆，1953年暑期完后，巴丁对李政道这几篇极化子的文章非常感兴趣，很希望李政道能介绍一位年轻粒子物理和场论的专家去伊利诺伊大学，帮助研究超导问题。那时候在哥伦比亚大学有一位天赋很高的研究生库珀(L. Cooper)。他的博士论文是μ介原子(mu-mesonic atom)，他的导师和合作者是李政道的两位好友，哥伦比亚的瑟伯(R.Serber)教授和亨利(E.Henley)博士。在李政道的推荐与鼓励下，库珀在得到了哥伦比亚大学博士学位之后，先去普林斯顿高等研究院一年后，就加入了巴丁的凝聚态理论组。但是这个说法与巴丁、库珀和施瑞佛的说法相悖。他们三人1972年获得诺贝尔物理学奖，巴丁1973年有一篇总结性文章，施瑞佛1974年有一个采访。巴丁1991年去世，施瑞佛1992年有一篇回忆文章。1987年超导理论建立30年时，库珀有一篇回忆文章。2011年，库珀有一篇纪念BCS50年的文章。这些文章中都介绍了库珀是如何加入合作组的。在与李政道和洛合作之后，派因斯又和玻姆远程合作，推进他们关于金属中电子相互作用的研究，然后他又拓展到对电声子耦合的影响。此前不久，弗洛里希得到，因为交换声子，电子之间有效相互作用成为吸引作用。巴丁和派因斯则发现，费米面上声子导致的电子之间的有效作用与电子之间的带屏蔽效应的直接相互作用正好抵消，但是在费米面向内，由声子能量代表的某个小范围内，电子之间的总相互作用是吸引作用。这成了后来的超导理论的出发点。1953年，施瑞佛（John Schrieffer）成为巴丁的研究生，1955年春天，他从巴丁提供的10个博士论文题目中选择了超导，当时洛是他的统计力学老师，起了鼓励作用。这时巴丁认为建立超导理论的条件已经成熟，也认识到，超导与电子关联导致的费米面失稳有关，这反映在他1955年在《物理学手册》上的一篇综述文章中。派因斯擅长多体理论，但是他1955年初离开了“正确时间的正确地方“，去普林斯顿大学担任预聘助理教授（后来在那里也没有得到长聘，1959年回到伊利诺伊大学任教授，那时超导理论已经于1957年在此建立）。巴丁1973年回忆：“有件事越来越清楚，主要在高能物理里发展的场论方法将会是解决粒子间具有吸引作用的费米气多体问题的有用工具。1955年春天，我给杨振宁打电话，那时他在普林斯顿高等研究院，我问他是否认识精通场论而愿意研究超导的人。他建议了库珀。库珀正在那里做博士后，他从哥伦比亚大学获得核理论方面的博士学位。库珀1955年秋天来到伊利诺伊，开始研究超导微观理论。施瑞佛，一位优秀的研究生，本科毕业于麻省理工学院，正要开始做博士论文，想参加进来。他倾向赌一下这个难题，而非找个更直接的课题作为博士论文。库珀和我共用办公室，施瑞佛经常来访，所以我们合作紧密。”
麦克斯韦方程组之所以令人惊叹，首先在于它们以一种近乎奇迹般的方式，将电学和磁学这两个看似独立却又紧密相关的领域完美地统一在了一起。在此之前，电和磁的研究一直是物理学家们面临的巨大挑战，而麦克斯韦通过他的方程组，将这两个领域融合成了一个连贯且统一的电磁学体系。这一理论上的突破，不仅极大地推动了物理学的发展，也为我们理解和解释自然界中的电磁现象提供了强有力的工具。
更令人惊叹的是，麦克斯韦方程组不仅解释了当时已知的电磁现象，还预言了电磁波的存在。这一预言在当时是革命性的，因为人们从未想象过电磁波这种无形无质的存在。然而，赫兹后来的实验成功地证实了电磁波的存在，这一事实无疑进一步证明了麦克斯韦方程组的准确性和前瞻性。
此外，麦克斯韦方程组在数学上的优美和简洁性也令人叹为观止。它们以四个简洁的方程，描述了电磁场的所有基本规律，这种高度的概括性和精确性使得它们被誉为物理学中最美的公式之一。这种数学上的美感不仅吸引了无数科学家的目光，也激发了他们对物理学的热爱和追求。
除了在数学和理论上的贡献外，麦克斯韦方程组还对现代科学技术的发展产生了深远的影响。它们为电磁学的应用提供了坚实的理论基础，使得我们能够发明和创造出各种实用的电磁设备和技术，如无线电、电视、雷达等。这些技术的出现，不仅极大地改善了我们的生活品质，也推动了人类社会的进步和发展。
更重要的是，麦克斯韦方程组所体现的物理规律和思想，对现代物理学的发展产生了重要的影响。它们为狭义相对论和量子力学的形成提供了关键的理论支持，推动了物理学从经典力学向现代物理学的转变。同时，它们所展现的对称性和内在的数学美感，也为我们理解和探索自然界的奥秘提供了新的视角和方法。
综上所述，麦克斯韦方程组之所以令人惊叹，不仅在于它们在数学和理论上的优美和简洁性，更在于它们对物理学和科学发展的深远影响和贡献。它们是人类智慧的结晶，也是我们理解和探索自然界奥秘的重要工具。
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所谓热力学第二定律是指热能会自发的从温度高的地方传递至温度低的地方，最终达到平衡。该定律反映了自然界在能量流动方面的一种现象。
那么，在自然条件下，热能会为什么会自发的从温度高的地方传递至温度低的地方，并最终实现平衡的呢？这是否意味着自然界需要能量平衡？或者说，当某种能量在特定区域内出现不平衡时，该能量有在该特定区域实现能量平衡的需求？肯定的答案便是本书的理论基础之一，即自然界需要能量平衡，而且该需求是自发的，是不以生物意志为转移的。
将热水倒入一只普通的杯子会发现，热能会经水杯流入环境（此处忽略经空气传递的热能），本书将介导能量流动的物质称为能量传递介体，此处，水杯便是介导热能从热水流向环境的能量传递介体。现在，我们假设存在这样一个水杯，其一半材料是木质的，一半材料是铁质的，且铁的导热性要相对更好。当向这个水杯倒入热水时，不难发现：
1）从铁质一侧流出的热能要比从木质一侧流出的更多；
2）热能会同时从木质一侧和铁质一侧流向环境。
那么，这两种现象说明了什么？
第一种现象说明，当多种热能传递介体同时存在时，热能传递能力相对较强的介体介导传递的能量要多于热能传递能力相对较弱的介体。
第二种现象说明，热水中的热能不但需要传递至环境中，还会以当前环境中最高效的能量传递方式释放其能量（因为能用的介体全用了）。
我们将热能需要释放的物质，称为热能供体。透过第一点可以发现，热能供体对热能传递介体具有选择性。热能传递能力越强的介体，其介导传递的热能就越多，利用这些热能来提升自身热能传递能力的几率也就越高。透过第二点不难发现，热能供体不但有释放热能的需求，还需要尽快的实现其热能与周边环境的相对平衡。热能供体的上述两种属性驱动了热能传递能力相对更强的能量传递介体的出现。例如，在炼铁过程中，热能传递能力相对较弱的铁矿石转变了热能传递能力相对更强的金属铁。
接下来我们比较几种能量的差异。首先，我们探讨这样一个问题，照射到特定区域的光会不会同时又照射到或者流动到其它地方？例如，照在一片树叶上的光会不会同时照射到另一片树叶，或者沿着大树的枝干流动到根？
答案是否定的。
这个现象说明，光的流动（或传播）具有定域性。相比较而言，只要特定区域之间存在温度差，那么热能就会自发的从温度高的地方传播至温度低的地方（假设存在热能传递介体）。由此可见，一般情况下，热能在自然界中的流动性要比光能相对更强。同样，对于储存在化合物中的化学能更是如此，如果没有相应的化学能传递介体，那么，储存在化合物中的化学能只能通过化合物自身的衰变释放能量，能量释放过程也会相对更加漫长。
综上所述，作者认为，自然界不仅需要能量平衡，还需要尽快的实现能量平衡，而将难以流动和释放的能量转化为热能，是自然界对能量平衡需求的结果，这一结果也驱动了将其它能量转化为热能的能量传递介体的出现，也驱动了在这个转化过程中能量传递能力相对更强的能量传递介体的出现，包括生命体的出现。
详情可以看一下《隐藏的动力：生物在自然中的价值》（汕头：汕头大学出版社，2020-12，CIP2020268179，ISBN 978-7-5658-4304-4.）这本书，字数不多，16万字，书稿电子稿可从该链接https://blog.sciencenet.cn/blog-3479210-1308965.html免费下载。
本书是一本基于热力学定律，从生物在自然界能量流动方面价值的角度阐述生命起源与进化问题的书。该书共分为六章，第一章介绍了从能量和价值的角度探讨生命起源与进化问题的缘由；第二章介绍了自然界中能量流动所遵循的基本定律及生物在自然界能量流动中的价值；第三章从生物在自然界能量流动中价值的角度，探讨了生物是如何从非生命态一步步演变为生命态的；第四章从生物在自然界能量流动中价值的角度，探讨了生物的演变缘由、演变方式和演变方向；第五章提出了“能流进化论”学说，借以阐释了“物竞天择，适者生存”现象；最后一章通过实例探讨了能流矛盾论在农业、医学、经济等领域的应用。
该书主要特色如下：
1．能流进化论是从自然界能量流的角度探究生命的起源与进化问题，而其它进化论主要从构成细胞的物质的角度探究生命的起源与进化。生态系统中有循环的物质流、双向的信息流和单向的能量流三种主要的功能流，从中也可以发现，能量流相对物质流和信息流更简单。天下难事，必作于易（道德经第六十三章），因而从能量流的角度探究生命的起源与进化问题是值得推崇和应用的方法，也是相对更为合理的方法。
2.能流进化论是从生物在自然界中价值的角度探究生命的起源与进化问题，而其它进化论主要是从组成生物体的物质分子在生物体中的价值的角度探究生命的起源与进化问题，因而才有了生命是起源于DNA、RNA还是蛋白质等争议话题。不识庐山真面目，只缘身在此山中（苏轼，题西林壁）。从自然界的角度探究生命的起源与进化问题比从生物体的角度要相对更系统、更全面、更合理、更准确。
3.能流进化论的论述方法是从自然界中的能量流聚焦到有能量传递介体介导的能量流，根据所有生物体都有介导能量传递这一共性及自然界对能量均衡分布的需求，推导非生命态能量传递介体向生命态能量传递介体演变的原因、过程和动力，该过程即为生命的起源。基于生命起源，继续根据能量传递介体在自然界中的价值共性，推究生物的进化。由此可见，在能流进化论中，生物进化是基于生命起源的生物进化，生命起源又是基于自然界能量流的生命起源，三者因能量流密切衔接，层次分明。然而，目前的很多进化论主要关注物种的起源及生物的进化，逃避生命起源问题，给人一种“头重脚轻根底浅，嘴尖皮厚腹中空”的感觉。
4.能流进化论认为，能量供体（食物）、生物体和能量受体（接收流经电子传递链的细胞代谢产生的电子的氧化性物质）三者之间相互影响，相互制约，对立统一，协同进化。从能流矛盾的角度，可以解释自然选择的依据是什么？适者生存中的“适者”是指什么等问题。然而，其它进化论则主要从生物的角度探究生物的进化。
5．能流进化论的目的不只是阐述生命的起源与进化问题，更在于其应用性，没有应用价值的理论是没有灵魂的理论。能流进化论可以用于解释各种生物现象及生物行为，也还可以用于审视目前存在的认识、假说等。例如在前述博文中，利用能流进化论解释了恐龙灭绝的原因、寒武纪物种大爆发的原因、爱尔兰大饥荒的原因、癌症的发生和转移原因、心脏很少癌变的原因、果树修剪的原因、下雨前燕子低飞和蚂蚁搬家的原因等，解释了医学的进步与自然选择是否冲突的问题、外星生命问题等，还利用能流进化论提出了电子传递链的新的运行机制……这些是其它进化论所欠缺的。
物理学中有许多令人惊叹的定律和方程，它们以其简洁的形式表达了自然界复杂的规律，并且在理解和预测物理现象方面有着极其重要的作用。以下是几个著名的例子：
1. 牛顿的三大定律：牛顿的三大定律奠定了经典力学的基础，描述了物体运动的基本规则。第一定律（惯性定律）表明，如果不受外力作用，物体将继续保持静止或匀速直线运动状态；第二定律（F=ma）说明了物体受力与加速度之间的关系；第三定律（作用与反作用定律）表明每个作用力都有一个大小相等方向相反的反作用力。
2. 爱因斯坦的质能方程 (E=mc²)：这个方程揭示了质量和能量之间的等价性，是相对论的核心之一。它说明了即使是少量的质量也能转化为巨大的能量，这在核反应中得到了验证。
3. 麦克斯韦方程组：这四个方程总结了电磁学的基本原理，包括电荷产生电场、变化的磁场产生电场、电流和变化的电场产生磁场等内容。麦克斯韦方程组预言了电磁波的存在，为无线电通信的发展铺平了道路。
4. 薛定谔方程 (iℏ ∂ψ/∂t = Ĥψ)：薛定谔方程是量子力学的核心方程之一，描述了量子系统波函数随时间的演化。它揭示了粒子在量子尺度下的行为，如波动性、不确定性原理等。
5. 海森堡的不确定性原理 (ΔxΔp ≥ ℏ/2)：该原理指出，不可能同时精确知道粒子的位置和动量。这是量子力学的一个基本特征，反映了自然界在微观层面的不确定性。
6. 热力学定律：热力学第一定律（能量守恒）和第二定律（熵增原理）分别阐述了能量转换和熵的概念，对工程学、化学等领域有着深远的影响。特别是第二定律，它表明了宇宙朝着更加无序（熵增加）的方向发展。
7. 德布罗意波 (λ = h/p)：德布罗意提出了物质波的概念，指出所有物质都有波粒二象性。这个方程将物质的波长与其动量联系起来，为量子力学的发展提供了重要依据。
8. 普朗克方程 (E = hf)：普朗克方程解释了黑体辐射的频率和能量之间的关系，标志着量子理论的开端。
这些定律和方程不仅仅是数学上的表达式，它们还是科学家们智慧的结晶，展示了自然界背后的美丽与和谐。通过对这些定律和方程的研究，人们能够更好地理解物理世界的运作机制，并在此基础上发展出各种技术应用。
然而，它们仅仅是对观察到现象的经验性总结，而无法对背后运行机制直接解释。例如，牛顿的运动定律告诉我们如何计算物体如何响应力的作用，但它并没有解释力的本质是什么。类似地，爱因斯坦的质能方程告诉我们质量和能量是如何转换的，但它并未深入到更深层次去解释为什么会有这样的转换。我们在学习，肯定与运用这些定理的同时，也需要保持批判性思维，不要局限于现有理论，通过发散思维去尝试找到更优的模型理论，这样我们才能逐步接近宇宙最真的本质！
于是，我提出了一个全新的宇宙模型假说，尝试给出了一种不同的解释方式，即通过引入“空间粒子”这一概念来构建宇宙的底层架构。在这个模型中，空间被认为是由无数个独立的空间单元（即空间粒子）构成的，它们经历了从虚无中诞生、成长、扩张至顶峰，然后收缩直至最终再次回归虚无的过程。这种生命周期赋予了时间流动的意义，也解释了物质是如何形成以及宇宙中其它现象是如何发生的。
例如，在这个模型中，光被定义为以光速行进的永恒粒子，而电子则是那些被原子场力捕获的永恒粒子。温度被定义为空间粒子密度，而摩擦生热则是由于物体相互作用时产生新的永恒粒子所致。此外，磁场和引力场也被解释为由物质对周围空间粒子持续作用而形成的有序化区域。模型仅用空间这一种元素的相互作用就可以解释几乎所有的自然现象。因此命名为《空间大一统模型》。
尽管这个模型目前仅做出了一个笼统的框架，尽管其目前仍然是一种假说，并未得到广泛认可，但它提供了一个不同于传统物理学视角的框架，试图从更基本的层次去解释自然现象。它试图将复杂的物理定律和现象简化为更基础的要素和它们之间的相互作用。然而这样的模型却对现有科学体系产生了巨大的挑战。
