为什么行星的运行轨道都是椭圆的?
2024-11-19 阅读 28
行星的运行轨道是椭圆的，是因为行星受到太阳的引力作用。根据万有引力定律，两个物体之间的引力与它们之间的距离成反比，因此行星在太阳周围运动时，受到太阳引力的作用，导致它们沿着椭圆轨道运行。椭圆轨道是在太阳为焦点的椭圆上运动，这种轨道形状使得行星在运行过程中距离太阳的距离不断变化，而不是保持固定距离。
更新于 2024年11月21日
似乎没有计算的，我来抛砖引玉一下吧
先说结论：经典框架下，若恒星质量足够大，则行星的运行轨迹为圆锥曲线。
一、运动方程不妨设恒星位于原点，
行星运动所对应的轨迹向量为 \vec s(t)=(x(t),y(t))\vec s(t)=(x(t),y(t)) ,
求出其速度向量为 \vec{v}(t)=(x'(t),y'(t))\vec{v}(t)=(x'(t),y'(t)) ,
而加速度向量显然为 \vec{a}=(x'',y'')\vec{a}=(x'',y'')
由牛顿定理 F=ma,F=\frac{\color{blue}{GM}m}{\color{green}{r^2}}F=ma,F=\frac{\color{blue}{GM}m}{\color{green}{r^2}} 不难得到矢量等式
\vec{a}=\frac{\color{blue}k}{\color{green}{\left| s^2 \right|}}(-\frac{\vec s}{\left| s \right|})\\\vec{a}=\frac{\color{blue}k}{\color{green}{\left| s^2 \right|}}(-\frac{\vec s}{\left| s \right|})\\ 两个分量分别相等可以得到
x''=-k\frac{x}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}\\ y''=-k\frac{y}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}\\x''=-k\frac{x}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}\\ y''=-k\frac{y}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}\\ 两式相加、相除，整理一下就是
\begin{align} x''^2+y''^2&=k^2\frac{1}{(x^2+y^2)^2}&(1)\\ x''y&=xy''&(2)\\ \end{align}\\\begin{align} x''^2+y''^2&=k^2\frac{1}{(x^2+y^2)^2}&(1)\\ x''y&=xy''&(2)\\ \end{align}\\ 为了方便解这个微分方程，进行换元（这里人傻了，应该一开始就用极坐标系求解的）
x(t)=r(t)\cos(\theta(t))\\ y(t)=r(t)\sin(\theta(t))\\x(t)=r(t)\cos(\theta(t))\\ y(t)=r(t)\sin(\theta(t))\\ 对两式求二阶导
x''=r''\cos\theta-2r'\sin\theta \cdot\theta'-r\cos\theta \cdot\theta'^2-r\sin\theta\cdot\theta''\\ y''=r''\sin\theta+2r'\cos\theta \cdot\theta'-r\sin\theta \cdot\theta'^2+r\cos\theta\cdot\theta''\\x''=r''\cos\theta-2r'\sin\theta \cdot\theta'-r\cos\theta \cdot\theta'^2-r\sin\theta\cdot\theta''\\ y''=r''\sin\theta+2r'\cos\theta \cdot\theta'-r\sin\theta \cdot\theta'^2+r\cos\theta\cdot\theta''\\ 代入 (2)(2) 化简得到
2r'\theta'+r\theta''=0\\2r'\theta'+r\theta''=0\\ 利用这个式子化简微分
x''=(r''-r\theta'^2)\cos \theta\\ y''=(r''-r\theta'^2)\sin \theta\\x''=(r''-r\theta'^2)\cos \theta\\ y''=(r''-r\theta'^2)\sin \theta\\ 代入 (1)(1)
(r''-r\theta'^2)^2=\frac{k^2}{r^4}\\(r''-r\theta'^2)^2=\frac{k^2}{r^4}\\ 最后得到了一个微分方程组
\begin{cases} 2r'\theta'+r\theta''=0\\ r''-r\theta'^2=\frac{k}{r^2}\\ \end{cases}\\\begin{cases} 2r'\theta'+r\theta''=0\\ r''-r\theta'^2=\frac{k}{r^2}\\ \end{cases}\\
二、方程求解 第一个解出两者的关系
\begin{align} 2r'r\theta'+r^2\theta''&=0\\ \frac{d(r^2\theta')}{dt}&=0\\ r^2\theta'&=C \end{align}\\\begin{align} 2r'r\theta'+r^2\theta''&=0\\ \frac{d(r^2\theta')}{dt}&=0\\ r^2\theta'&=C \end{align}\\ 这个其实就是著名的开普勒第二定律，可以写作
\frac{1}{2}r^2d\theta=Cdt\\\frac{1}{2}r^2d\theta=Cdt\\
即相等时间间隔，行星与太阳的连线扫过的面积相等
