为什么行星的运行轨道都是椭圆的?
2024-11-19 阅读 12
更新于 2024年11月21日
似乎没有计算的，我来抛砖引玉一下吧
先说结论：经典框架下，若恒星质量足够大，则行星的运行轨迹为圆锥曲线。
一、运动方程不妨设恒星位于原点，
行星运动所对应的轨迹向量为 \vec s(t)=(x(t),y(t))\vec s(t)=(x(t),y(t)) ,
求出其速度向量为 \vec{v}(t)=(x'(t),y'(t))\vec{v}(t)=(x'(t),y'(t)) ,
而加速度向量显然为 \vec{a}=(x'',y'')\vec{a}=(x'',y'')
由牛顿定理 F=ma,F=\frac{\color{blue}{GM}m}{\color{green}{r^2}}F=ma,F=\frac{\color{blue}{GM}m}{\color{green}{r^2}} 不难得到矢量等式
\vec{a}=\frac{\color{blue}k}{\color{green}{\left| s^2 \right|}}(-\frac{\vec s}{\left| s \right|})\\\vec{a}=\frac{\color{blue}k}{\color{green}{\left| s^2 \right|}}(-\frac{\vec s}{\left| s \right|})\\ 两个分量分别相等可以得到
x''=-k\frac{x}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}\\ y''=-k\frac{y}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}\\x''=-k\frac{x}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}\\ y''=-k\frac{y}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}\\ 两式相加、相除，整理一下就是
