电阻凭什么就等于电压除以电流？有没有推导？
2024-11-19 阅读 53
电阻等于电压除以电流是基于欧姆定律推导得出的。欧姆定律表明，电阻的值等于电压和电流的比值。数学表达式为：R = V / I，其中R表示电阻，V表示电压，I表示电流。
这个关系可以通过基本的电路理论来推导。根据欧姆定律，电阻R定义为电压V与电流I之间的比值，即R = V / I。这个关系可以通过实验验证，同时也可以通过基本的电路理论和电学知识来解释。当电流I通过一个电阻R时，根据电阻的定义，电阻会阻碍电流流动，导致电压V的产生。根据基尔霍夫电压定律，电压V等于电流I乘以电阻R，即V = I * R。将这个关系代入欧姆定律的公式中，就得到了R = V / I。
因此，电阻等于电压除以电流的关系是基于欧姆定律和基尔霍夫电压定律推导得出的。
更新于 2024年11月21日
电阻实际上是系统对外加电场的响应，只有从凝聚态物理中的响应理论的角度才能把整套逻辑关系理清楚。
想象一下假如你拿到一个未知的材料，你除了看看是啥颜色，测测密度是啥，你还能怎么去进一步了解这块材料。那么标准的操作是，你折腾一下这个玩意儿，看看它发生了什么变化。比如说，我给它加热一会儿，看看温度变化了多少；比如说我狠狠地压一压这玩意儿，看看有没有变小的一点；再比如，我加个磁场上去让它磁化，看看它磁性怎么样。以及，我在两端加个电压，看看电流有多大。
这一类性质我们通常称之为响应，基本的结构是外界加一个扰动 \delta J\delta J ，看系统的响应 \delta A\delta A 有多大，刻画系统如何对外界响应的办法就是 \chi=\frac{\delta A}{\delta J}\chi=\frac{\delta A}{\delta J} ，我们一般称之为响应函数，这个函数反映的是便系统内在的性质。
回到欧姆定律上来，为了省事就不扯磁场随时间变化的事情，就考虑电场，此时电场是保守场，可以对电场积分定义出电势差来，其实就是电压，这和电不电流没有半毛钱关系，电磁场中有没有带电荷的粒子不影响电磁场本身存在。再说电流，电流的定义中也压根不涉及到它在不在电场中，我们只是说数一下单位时间通过一个横截面的电荷量有多少，这个就是电流。电压/电场和电流在逻辑上完全是独立的。
电阻仅仅是响应函数的一种特殊形式，所以中学阶段会有 U/I\equiv RU/I\equiv R 。逻辑关系是这样的。还需要注意的是。响应虽然由外界扰动引起，但响应函数仅仅依赖于系统本身的性质，这也就是为什么我们说电阻（率）仅仅由材料本身决定，而如果想直接从材料的种类结构计算电阻率，欧姆定律对此无能无力。另外，一般在物理中我们用到的欧姆定律更多其实是电场和电流密度矢量的关系，即
\vec j=\sigma \vec E\vec j=\sigma \vec E
只不过此时的响应是电导，而不是电阻。
至于如何真正计算电导/电阻，我们需要扔掉欧姆定律，回归到材料本身的性质上，用一点简单的量子力学去进行计算。
这个问题是个很典型的初高中陷阱
简单来说，电流和电压是本质，电阻才是那个被定义出来的物理量
对于常温常压下的普通电阻元件而言，它的电阻一般不会随电流电压的变化而变化，所以我们才会用电阻来进行各种电路计算
对于更复杂的场景，比如交流电、非常温常压或非线性元件（晶体管），电阻已经不够用了，还得引入电感电容等积分微分元件
省流：材料中的电压与电流呈线性关系（即欧姆定律），这一现象本质上源于材料内电子的散射过程。欧姆定律是一条通过实验总结得出的经验定律，该定律可以通过微观层面的电子散射进行理论推导。在诸多理论模型中，Drude模型是最早尝试从微观视角解释欧姆定律的经典模型。下面将简要介绍Drude模型及其如何推导出欧姆定律的过程。
Drude模型的基本假设在Drude模型中，电子被视为类似“小弹珠”的粒子，它们在材料中自由运动，但会受到材料中晶格（即原子实）的散射作用。为了描述这种散射，Drude模型引入了一个关键参数——电子弛豫时间 \tau\tau 。弛豫时间的物理意义是：电子在材料中平均运动时间为 \tau\tau 后，就会被晶格散射。
Drude模型进一步假设，电子在被散射后其运动完全随机化，即散射后的平均速度为零（从数学上看，散射后电子的平均速度矢量为零）。
Drude模型基于上述模型假设，并结合牛顿运动定律，可以推导出Drude模型中的欧姆定律。假设在材料中施加了一个电场 \vec{E}\vec{E} ，此时电子受到的电场力为-e\vec{E}-e\vec{E} （其中 ee 为电子电荷量）。在电场作用下，电子的加速度表达式为:
\begin{equation} \displaystyle \vec{a}=-\frac{e\vec{E}}{m}\tag{1} \end{equation}\begin{equation} \displaystyle \vec{a}=-\frac{e\vec{E}}{m}\tag{1} \end{equation}
假设材料中某个电子在一次散射后具有速度 \vec{v}_0\vec{v}_0 。在下一次散射前，电子受到电场力的作用导致速度发生变化：
\begin{equation} \displaystyle \vec{v}=\vec{v}_0-\frac{e\vec{E}}{m}t\tag{2}\\\end{equation}\begin{equation} \displaystyle \vec{v}=\vec{v}_0-\frac{e\vec{E}}{m}t\tag{2}\\\end{equation}
其中 tt 是两次散射间的运动时间。由于材料中存在大量电子，我们对上述方程取统计平均，得到：
