电阻凭什么就等于电压除以电流？有没有推导？
2024-11-19 阅读 13
更新于 2024年11月21日
电阻实际上是系统对外加电场的响应，只有从凝聚态物理中的响应理论的角度才能把整套逻辑关系理清楚。
想象一下假如你拿到一个未知的材料，你除了看看是啥颜色，测测密度是啥，你还能怎么去进一步了解这块材料。那么标准的操作是，你折腾一下这个玩意儿，看看它发生了什么变化。比如说，我给它加热一会儿，看看温度变化了多少；比如说我狠狠地压一压这玩意儿，看看有没有变小的一点；再比如，我加个磁场上去让它磁化，看看它磁性怎么样。以及，我在两端加个电压，看看电流有多大。
这一类性质我们通常称之为响应，基本的结构是外界加一个扰动 \delta J\delta J ，看系统的响应 \delta A\delta A 有多大，刻画系统如何对外界响应的办法就是 \chi=\frac{\delta A}{\delta J}\chi=\frac{\delta A}{\delta J} ，我们一般称之为响应函数，这个函数反映的是便系统内在的性质。
回到欧姆定律上来，为了省事就不扯磁场随时间变化的事情，就考虑电场，此时电场是保守场，可以对电场积分定义出电势差来，其实就是电压，这和电不电流没有半毛钱关系，电磁场中有没有带电荷的粒子不影响电磁场本身存在。再说电流，电流的定义中也压根不涉及到它在不在电场中，我们只是说数一下单位时间通过一个横截面的电荷量有多少，这个就是电流。电压/电场和电流在逻辑上完全是独立的。
电阻仅仅是响应函数的一种特殊形式，所以中学阶段会有 U/I\equiv RU/I\equiv R 。逻辑关系是这样的。还需要注意的是。响应虽然由外界扰动引起，但响应函数仅仅依赖于系统本身的性质，这也就是为什么我们说电阻（率）仅仅由材料本身决定，而如果想直接从材料的种类结构计算电阻率，欧姆定律对此无能无力。另外，一般在物理中我们用到的欧姆定律更多其实是电场和电流密度矢量的关系，即
\vec j=\sigma \vec E\vec j=\sigma \vec E
只不过此时的响应是电导，而不是电阻。
至于如何真正计算电导/电阻，我们需要扔掉欧姆定律，回归到材料本身的性质上，用一点简单的量子力学去进行计算。
这个问题是个很典型的初高中陷阱
