电阻凭什么就等于电压除以电流？有没有推导？
2024-11-19 阅读 192
更新于 2024年11月21日
电阻实际上是系统对外加电场的响应，只有从凝聚态物理中的响应理论的角度才能把整套逻辑关系理清楚。
想象一下假如你拿到一个未知的材料，你除了看看是啥颜色，测测密度是啥，你还能怎么去进一步了解这块材料。那么标准的操作是，你折腾一下这个玩意儿，看看它发生了什么变化。比如说，我给它加热一会儿，看看温度变化了多少；比如说我狠狠地压一压这玩意儿，看看有没有变小的一点；再比如，我加个磁场上去让它磁化，看看它磁性怎么样。以及，我在两端加个电压，看看电流有多大。
这一类性质我们通常称之为响应，基本的结构是外界加一个扰动 \delta J\delta J ，看系统的响应 \delta A\delta A 有多大，刻画系统如何对外界响应的办法就是 \chi=\frac{\delta A}{\delta J}\chi=\frac{\delta A}{\delta J} ，我们一般称之为响应函数，这个函数反映的是便系统内在的性质。
回到欧姆定律上来，为了省事就不扯磁场随时间变化的事情，就考虑电场，此时电场是保守场，可以对电场积分定义出电势差来，其实就是电压，这和电不电流没有半毛钱关系，电磁场中有没有带电荷的粒子不影响电磁场本身存在。再说电流，电流的定义中也压根不涉及到它在不在电场中，我们只是说数一下单位时间通过一个横截面的电荷量有多少，这个就是电流。电压/电场和电流在逻辑上完全是独立的。
电阻仅仅是响应函数的一种特殊形式，所以中学阶段会有 U/I\equiv RU/I\equiv R 。逻辑关系是这样的。还需要注意的是。响应虽然由外界扰动引起，但响应函数仅仅依赖于系统本身的性质，这也就是为什么我们说电阻（率）仅仅由材料本身决定，而如果想直接从材料的种类结构计算电阻率，欧姆定律对此无能无力。另外，一般在物理中我们用到的欧姆定律更多其实是电场和电流密度矢量的关系，即
\vec j=\sigma \vec E\vec j=\sigma \vec E
只不过此时的响应是电导，而不是电阻。
至于如何真正计算电导/电阻，我们需要扔掉欧姆定律，回归到材料本身的性质上，用一点简单的量子力学去进行计算。
这个问题是个很典型的初高中陷阱
简单来说，电流和电压是本质，电阻才是那个被定义出来的物理量
对于常温常压下的普通电阻元件而言，它的电阻一般不会随电流电压的变化而变化，所以我们才会用电阻来进行各种电路计算
对于更复杂的场景，比如交流电、非常温常压或非线性元件（晶体管），电阻已经不够用了，还得引入电感电容等积分微分元件
省流：材料中的电压与电流呈线性关系（即欧姆定律），这一现象本质上源于材料内电子的散射过程。欧姆定律是一条通过实验总结得出的经验定律，该定律可以通过微观层面的电子散射进行理论推导。在诸多理论模型中，Drude模型是最早尝试从微观视角解释欧姆定律的经典模型。下面将简要介绍Drude模型及其如何推导出欧姆定律的过程。
Drude模型的基本假设在Drude模型中，电子被视为类似“小弹珠”的粒子，它们在材料中自由运动，但会受到材料中晶格（即原子实）的散射作用。为了描述这种散射，Drude模型引入了一个关键参数——电子弛豫时间 \tau\tau 。弛豫时间的物理意义是：电子在材料中平均运动时间为 \tau\tau 后，就会被晶格散射。
Drude模型进一步假设，电子在被散射后其运动完全随机化，即散射后的平均速度为零（从数学上看，散射后电子的平均速度矢量为零）。
Drude模型基于上述模型假设，并结合牛顿运动定律，可以推导出Drude模型中的欧姆定律。假设在材料中施加了一个电场 \vec{E}\vec{E} ，此时电子受到的电场力为-e\vec{E}-e\vec{E} （其中 ee 为电子电荷量）。在电场作用下，电子的加速度表达式为:
\begin{equation} \displaystyle \vec{a}=-\frac{e\vec{E}}{m}\tag{1} \end{equation}\begin{equation} \displaystyle \vec{a}=-\frac{e\vec{E}}{m}\tag{1} \end{equation}
假设材料中某个电子在一次散射后具有速度 \vec{v}_0\vec{v}_0 。在下一次散射前，电子受到电场力的作用导致速度发生变化：
\begin{equation} \displaystyle \vec{v}=\vec{v}_0-\frac{e\vec{E}}{m}t\tag{2}\\\end{equation}\begin{equation} \displaystyle \vec{v}=\vec{v}_0-\frac{e\vec{E}}{m}t\tag{2}\\\end{equation}
其中 tt 是两次散射间的运动时间。由于材料中存在大量电子，我们对上述方程取统计平均，得到：
\left\langle \vec{v}\right\rangle=\left\langle \vec{v}_0\right\rangle+\left\langle \frac{e\vec{E}}{m}t\right\rangle\tag{3}\\\left\langle \vec{v}\right\rangle=\left\langle \vec{v}_0\right\rangle+\left\langle \frac{e\vec{E}}{m}t\right\rangle\tag{3}\\
根据Drude模型的假设，散射后的电子速度是随机分布的，因此
\left\langle \vec{v}_0\right\rangle=0\tag{4}\\\left\langle \vec{v}_0\right\rangle=0\tag{4}\\
此外，Drude模型假设电子在材料中的平均散射时间为弛豫时间 \tau\tau ，因此两次散射之间的平均运动时间为 \tau\tau ，得到：
\left\langle \frac{e\vec{E}}{m}t\right\rangle=\frac{e\vec{E}}{m}\tau\tag{5}\\\left\langle \frac{e\vec{E}}{m}t\right\rangle=\frac{e\vec{E}}{m}\tau\tag{5}\\
由此得到电子在散射间隙内的平均速度为：
\left\langle \vec{v}\right\rangle=\frac{e\vec{E}}{m}\tau\tag{6}\\\left\langle \vec{v}\right\rangle=\frac{e\vec{E}}{m}\tau\tag{6}\\
由于电子散射前后的速度都是完全随机的， \left\langle \vec{v}\right\rangle\left\langle \vec{v}\right\rangle 即为电子受到电场力产生的平均速度。
电子运动到电流密度材料中电子的定向运动会形成电流，电流密度定义为：
\vec{j}=ne\left\langle \vec{v}\right\rangle\tag{7}\\\vec{j}=ne\left\langle \vec{v}\right\rangle\tag{7}\\
其中， nn 是电荷密度。代入Drude模型中的平均速度，得到
\vec{j}=\sigma\vec{E};\sigma=\frac{ne^2\tau}{m}\tag{8}\\\vec{j}=\sigma\vec{E};\sigma=\frac{ne^2\tau}{m}\tag{8}\\
其中 \sigma\sigma 称为电导率。公式（6）为欧姆定律在微观层面的表达式。
欧姆定律对于一个实际材料，将电流密度转化为总电流 II ， I=\vec{j}\cdot\vec{S}I=\vec{j}\cdot\vec{S} ，|\vec{S}||\vec{S}| 是材料横截面积；同时，电场强度可以转化电压， U=\vec{E}\cdot\vec{l}U=\vec{E}\cdot\vec{l} ， |\vec{l}||\vec{l}| 为材料的长度。结合以上两式，可以推导出我们熟悉的宏观欧姆定律：
U=\rho\frac{l}{S}I;\rho=\frac{1}{\sigma}\tag{9}\\U=\rho\frac{l}{S}I;\rho=\frac{1}{\sigma}\tag{9}\\
其中， \rho\rho 是电阻率。
后记通过量纲分析可以看出，欧姆定律本质上说明了材料中的电场力与电流速度呈正比关系。然而，根据牛顿运动定律，力应与加速度成正比。这一矛盾表明，欧姆定律中存在一个打断电子持续加速的物理机制——即散射。Drude模型通过电子的弛豫时间很好地解释了这一点，揭示了电压与电流的线性关系来源于电子散射的微观物理过程。
除了本文介绍的直流欧姆定律外，Drude模型还成功解释了交流传导、霍尔效应和热传导等现象。然而，Drude模型也存在明显的局限性，例如，它严重高估了电子的比热容，并且无法解释某些材料中正霍尔系数的现象。对于这些问题，需要更先进的量子理论来补充和完善，例如量子版的Drude模型（Sommerfeld理论）、能带理论等。
电阻、电压、电流，这些不是真实存在的物质，而是一种概念。
因为电压这个概念可测量，又因为电流这个概念可测量，又因为电压和电流在普通导体里是成正比关系，从而可以间接测出电阻概念值。
电阻=电压/电流，则是对这种物理现象的数学建模。
真要推导，那就超钢了，从电动力学开始推导，还是从量子力学推导，那得再学几年大学物理专业。
回答是；说电阻的定义式R=U/I，就要从欧姆定律说起，因为它是欧姆定律得来的。
一、欧姆定律在大学物理中的标志性的表述
1．赵凯华、陈熙谋，《电磁学》第三版，第160页
精确的实验表明，在恒定条件下，通过一段导体的电流和导体两端的电压成正比，即 I~U
这个结论叫做欧姆定律。如果写成等式，则有
I=U/R 或 U=IR (3.7)
式中比例系数由导体的性质决定，叫做导体的电阻。
2. 徐游编著，《电磁学》第二版，第 145~146 页
1826 年欧姆发现，在温度不变时，一段金属中的电流 I 与导线两端的电势差U成正比，即
(4.9)
这个规律叫做欧姆定律。U 与I之比定义为该导线的电阻，通常用R 表示电阻，所以
R=U/I (4.10)
伏安特性曲线不是直线的元件称为非线性元件。对于非线性元件欧姆定律虽不适用，但仍可按式（4.10）定义其电阻。可见，关系式U=IR 不是欧姆定律的表述。一个导体，只有它的伏安曲线是直线亦即只有R不依赖于U与I 时，才说得上服从欧姆定律。
