有个广义相对论中的调和规范的问题，怎么证明图中这两个式子是等价的？
2024-11-20 阅读 10
在广义相对论中，调和规范是一种特殊的规范选择，可以简化爱因斯坦场方程的形式。在调和规范下，度规的协变导数为零，即$\nabla_\mu g^{\mu\nu}=0$。而在此规范下，爱因斯坦张量的迹为零，即$g^{\mu\nu}G_{\mu\nu}=0$。
要证明这两个式子是等价的，可以通过以下步骤进行推导：
首先，我们知道爱因斯坦张量$G_{\mu\nu}$定义为$G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R$，其中$R_{\mu\nu}$是里奇张量，$R$是标量曲率。将爱因斯坦张量的定义代入$g^{\mu\nu}G_{\mu\nu}=0$中得到：
$g^{\mu\nu}G_{\mu\nu}=g^{\mu\nu}(R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R)=R-\frac{1}{2}g^{\mu\nu}g_{\mu\nu}R=R-2R=0$
因此，$g^{\mu\nu}G_{\mu\nu}=0$等价于$R=0$。
接下来，我们来证明$\nabla_\mu g^{\mu\nu}=0$等价于$R=0$：
根据调和规范的定义$\nabla_\mu g^{\mu\nu}=0$，我们有$\nabla_\mu g^{\mu\nu}=\partial_\mu g^{\mu\nu}+\Gamma^\mu_{\mu\lambda}g^{\lambda\nu}+\Gamma^\nu_{\mu\lambda}g^{\mu\lambda}=0$，其中$\Gamma^\mu_{\nu\lambda}$是联络系数。
由度规的定义$g^{\mu\nu}g_{\nu\lambda}=\delta^\mu_\lambda$，我们可以得到$g^{\mu\nu}\partial_\mu g_{\nu\lambda}=0$。进一步，我们可以证明$\partial_\mu g_{\nu\lambda}=0$，即度规$g_{\mu\nu}$是常数度规。而在常数度规下，标量曲率$R=0$。
综上所述，$\nabla_\mu g^{\mu\nu}=0$等价于$R=0$。因此，可以证明在调和规范下，$g^{\mu\nu}G_{\mu\nu}=0$与$\nabla_\mu g^{\mu\nu}=0$是等价的。
更新于 2024年11月24日
