如何推导出匀速率圆周运动向心加速度只改变速度方向，不改变速度大小？
2024-11-19 阅读 86
更新于 2024年11月21日
回答是：一、推导思路：
我们尝试得出向心加速度大小的表达式，出发点是设法用v、r等物理量表示a =△v/△t中的△v。
1、图甲中，vA、vB是时间间隔At前后的速度（如下图）
2、为了求出二者之差△v=vB-vA，我们移动vA，把它们的起点放在一起（图乙、图丙）
上图表示出了质点从A运动到B的速度变化量
3、由于只有在△t很小的时候才表示物体的加速度，所以实际上A、B两点相距很近（图丁）。找出三角形中几个量的关系就能求得△v。
二、推导过程：
1、由于是匀速圆周运动，所以VA和vB的大小是一样的，可以用同一个字母v表示。
2、VA和vB的大小实际上就是图中vA和vB的长度，解决几个物理量的关系，实际是找它们的几何关系。这也是物理学中常用的研究方法。
如图下图所示，体现弧长、弦长与半径的关系。
当角θ用弧度表示时，弧长QP可以表示为QP=rθ。当θ很小很小时，弧长与弦长没什么区别，所以此式也表示弦长。这个关系可以用来计算矢量△v的长度。
3、类比法：如丁图
△v=vθ
可得a=△v/△t=vθ/△t，
又θ/△t=ω
所以a=vω
又v=ωr
所以a=ω^2r
三、向心加速度的方向和公式的推导是一个难点内容，用三角形法则可以较好地突破了速度与速度变化量的方向关系的难点，并结合极限思想推导向心加速度公式，加强用数学工具解决物理问题的训练，有利于培养学生严谨的科学态度和科学推理能力。
希望对您有帮助！
匀速率圆周运动中的向心加速度主要作用是改变物体的速度方向，而不是速度的大小。要理解和推导这一结论，可以通过以下几个步骤来分析。
1. 匀速率圆周运动的定义匀速率圆周运动意味着物体在圆轨道上运动，且速度的大小保持恒定，但其运动方向不断变化。
速度大小：保持不变。速度方向：始终沿切线方向，随着物体绕圆周运动而不断改变。2. 速度的矢量形式在圆周运动中，速度是一个向量。设物体以速度 v(t) v(t) 沿圆轨道运动，速度向量的大小 ∣v∣=v∣v∣=v 是常数，但方向在不断变化。
在任意时刻 tt ，物体的速度方向是切线方向，而加速度指向圆心，因此称为向心加速度。
3. 向心加速度的推导向心加速度是用来描述速度方向变化的加速度。为了推导向心加速度的作用，我们可以使用一些几何和微积分工具。
3.1. 位置矢量和速度矢量设物体在半径为 RR 的圆周上运动，它的位置矢量为 r(t) r(t) ，方向指向圆心的径向单位矢量 \hat{r}(t) \hat{r}(t) 表示为：
{r}(t) = R \hat{r}(t) {r}(t) = R \hat{r}(t)
物体的速度 v(t) v(t) 是位置矢量对时间的导数，即：
v(t) = \frac{d\mathbf{r}(t)}{dt} = R \frac{d\hat{r}(t)}{dt}v(t)v(t) = \frac{d\mathbf{r}(t)}{dt} = R \frac{d\hat{r}(t)}{dt}v(t)
因为 \hat{r}(t) \hat{r}(t) 的大小始终是单位长度，而它的方向在变化，导数 \frac{d\hat{r}(t)}{dt}\frac{d\hat{r}(t)}{dt} 将指向圆周切线方向，可以表示为：
\frac{d\hat{r}(t)}{dt} = \omega \hat{\theta}\frac{d\hat{r}(t)}{dt} = \omega \hat{\theta}
其中， \hat{\theta}(t)\hat{\theta}(t) 是切线方向的单位矢量， ww 是角速度。因此，速度可以写为：
v(t)=Rω \hat{\theta}(t)v(t)=Rω \hat{\theta}(t)
这里的速度大小为：
v∣=Rωv∣=Rω
因此，速度的大小恒定为 RωRω 。
3.2. 加速度的推导加速度是速度对时间的导数，向心加速度 a(t) a(t) 是速度矢量对时间的导数：
a(t)=\frac{d\mathbf{v}(t)}{dt} = R \frac{d(\omega \hat{\theta}(t))}{dt}a(t)=\frac{d\mathbf{v}(t)}{dt} = R \frac{d(\omega \hat{\theta}(t))}{dt}
由于 ww 是常数，只有 \hat{\theta}(t)\hat{\theta}(t) 的方向在变化。通过类似的分析，我们知道 \frac{d\hat{\theta}(t)}{dt} = -\omega \hat{r}(t)\frac{d\hat{\theta}(t)}{dt} = -\omega \hat{r}(t) ，即切向矢量的导数是指向径向的矢量。因此加速度可以写为：
a(t)= -R \omega^2 \hat{r}(t)a(t)= -R \omega^2 \hat{r}(t)
这里 a(t) a(t) 的方向与位置矢量 r(t) r(t) 相反，指向圆心，而其大小为：
∣a∣=Rω2|\∣a∣=Rω2|\
因为 v=Rωv=Rω ，所以加速度大小为：
∣ a∣ = \frac{v^2}{R}∣ a∣ = \frac{v^2}{R}
这就是匀速率圆周运动的向心加速度。
4. 向心加速度的作用：改变速度方向通过上述推导我们可以看到：
加速度的方向始终指向圆心，即沿径向。速度的方向始终沿切线方向，与加速度方向垂直。由于加速度与速度垂直，它不会改变速度的大小。加速度的唯一作用是不断改变速度的方向，使得物体保持沿圆周轨道运动。
5. 为什么加速度不改变速度大小？从矢量的角度来看，加速度 \mathbf{a}\mathbf{a} 与速度 \mathbf{v}\mathbf{v} 垂直，垂直方向上的力不会影响速度的大小，只会改变其方向。换句话说，加速度的分量完全在径向方向上，没有切向分量。因此，速度的大小 |\mathbf{v}||\mathbf{v}| 保持恒定，而方向在不断变化。
这可以从数学上进一步证明：加速度与速度的内积为零，即：
\mathbf{a} \cdot \mathbf{v} = 0\mathbf{a} \cdot \mathbf{v} = 0
表示加速度不会在速度的方向上做功，因此不会改变速度的大小。
总结通过推导可以得出，在匀速率圆周运动中：
向心加速度始终指向圆心，作用在径向上。向心加速度与速度方向垂直，因而只改变速度的方向，不改变速度的大小。 这一性质来源于加速度和速度矢量的几何关系，即加速度始终指向圆心，而速度在沿圆轨道上变化，二者保持垂直。
看要给什么层次的学生回答这个问题了。
一、如果给刚学习圆周运动的高中生解释，可以回避公式，单纯从曲线运动的特点来回答。曲线运动的条件之一是物体所受的合力不为零，而圆周运动是曲线运动，所以物体做圆周运动时必然受到不为零的合力，故物体有加速度；其次，问题已经限定在物体做匀速率圆周运动，即物体的速度大小不变。由于加速度的存在使得物体的速度会发生变化，并且速度是矢量，有大小和方向两个特征，如今速度大小不变，所以只可能是速度方向在发生改变，问题得证！
