如果磁单极子被发现，麦克斯韦方程组会被如何修改？
2024-11-19 阅读 95
更新于 2024年11月21日
引入磁荷密度 \rho_m\rho_m 和磁流密度 j_mj_m ，把 Maxwell 方程组改写成:
\left\{\begin{aligned} \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{E} & =\frac{\rho_{e}}{\varepsilon_{0}} \\ \boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{E} & =-\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}-\mu_{0} \boldsymbol{j}_{m} \\ \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{B} & =\mu_{0} \rho_{m} \\ \boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{B} & =\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}+\mu_{0} \boldsymbol{j}_{e} \end{aligned}\right.\\\left\{\begin{aligned} \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{E} & =\frac{\rho_{e}}{\varepsilon_{0}} \\ \boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{E} & =-\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}-\mu_{0} \boldsymbol{j}_{m} \\ \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{B} & =\mu_{0} \rho_{m} \\ \boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{B} & =\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}+\mu_{0} \boldsymbol{j}_{e} \end{aligned}\right.\\其中已把原先的电荷和电流标记为 \rho_e\rho_e 和 j_ej_e 。不难验证，磁荷和磁流满足守恒方程， \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{j}_m+\frac{\partial \rho_m}{\partial t}=0\\\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{j}_m+\frac{\partial \rho_m}{\partial t}=0\\ 显然这样的Maxwell方程组更具有对称性。更直接的，做如下对偶变换：
\left.\left\{\begin{array}{ccc} E&\to &c\boldsymbol{B}^{\prime}\\B&\to&-\boldsymbol{E}^{\prime}/c\\ \rho_e&\to&\rho_m'/c\\\rho_m&\to&-\rho_e'c\\\boldsymbol{j}_e&\to&\boldsymbol{j}_m'/c\\\boldsymbol{j}_m&\to&-\boldsymbol{j}_e'c\end{array}\right.\right.\\\left.\left\{\begin{array}{ccc} E&\to &c\boldsymbol{B}^{\prime}\\B&\to&-\boldsymbol{E}^{\prime}/c\\ \rho_e&\to&\rho_m'/c\\\rho_m&\to&-\rho_e'c\\\boldsymbol{j}_e&\to&\boldsymbol{j}_m'/c\\\boldsymbol{j}_m&\to&-\boldsymbol{j}_e'c\end{array}\right.\right.\\ 可以发现Maxwell 方程组保持不变，如果在高斯单位制下，对称性将更加明显。这也是为什么狄拉克认为：“既然电有基本电荷电子存在，磁也应有基本磁荷磁单极子存在，这样，电磁现象的完全对称性就可以得到保证。”
一个电子漩涡，你压他一下，他瞬间变形，一头喷的猛，一头轻，OK，磁单集子发现了。上次我看有人这么问文心一言
不要在一些老掉牙的观点上面浪费时间，因为比麦克斯韦方程组更接近本质的电磁统一理论乃至标准模型都已经研究几十上百年了，真空破缺能之下几乎没有秘密，像这种根本猜想根本没有生存的余地！
Jackson的《经典电动力学》一书中有题主所提到的公式。
首先磁场散度就不是0了
其次电场旋度需要一个磁流密度
如果磁单极子被发现，麦克斯韦方程组将需要进行修改，以反映磁单极子的存在，确保电和磁之间的对称性。这种修改不仅会增强理论的美感，也会为新的物理现象和技术应用打开大门。以下是具体的修改内容：
### 1. 高斯定律（Gauss's Law for Electric Fields）
这一部分保持不变，描述了电荷如何产生电场：
\[ \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho_e}{\epsilon_0} \]
其中，\(\mathbf{E}\) 是电场，\(\rho_e\) 是电荷密度，\(\epsilon_0\) 是真空介电常数。
### 2. 高斯磁定律（Gauss's Law for Magnetism）
原本的高斯磁定律表述为磁场线没有起点和终点，即：
\[ \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \]
如果存在磁单极子，这一方程需要修改为：
\[ \nabla \cdot \mathbf{B} = \mu_0 \rho_m \]
其中，\(\mathbf{B}\) 是磁场，\(\rho_m\) 是磁荷密度，\(\mu_0\) 是真空磁导率。这表示磁单极子可以作为磁场的源或汇。
### 3. 法拉第电磁感应定律（Faraday's Law of Induction）
这一部分也需要修改，以包含磁流的影响：
\[ \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} - \mu_0 \mathbf{J}_m \]
其中，\(\mathbf{J}_m\) 是磁流密度。这表示变化的磁场和磁流都会产生电场。
### 4. 安培-麦克斯韦定律（Ampère-Maxwell Law）
这一部分也需要修改，以包含磁流的影响：
\[ \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}_e + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \mu_0 \mathbf{J}_m \]
其中，\(\mathbf{J}_e\) 是电荷电流密度，\(\mathbf{J}_m\) 是磁流密度。这表示电荷电流、变化的电场和磁流都会产生磁场。
### 5. 洛伦兹力
洛伦兹力公式也需要相应修改，以包含磁荷的影响：
\[ \mathbf{F} = q_e (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}) + q_m (\mathbf{B} - \mathbf{v} \times \mathbf{E}) \]
其中，\(q_e\) 是电荷，\(q_m\) 是磁荷，\(\mathbf{v}\) 是粒子的速度。这表示电荷和磁荷在电场和磁场中的受力情况。
### 6. 对偶变换
为了保持麦克斯韦方程组的对称性，可以引入对偶变换。对偶变换是指在几何高斯制中，电场 \(\mathbf{E}\) 和磁场 \(\mathbf{B}\) 之间的互换，以及电荷 \(\rho_e\) 和磁荷 \(\rho_m\) 之间的互换。具体变换如下：
\[ \mathbf{E} \rightarrow \mathbf{B}, \quad \mathbf{B} \rightarrow -\mathbf{E} \]
\[ \rho_e \rightarrow \rho_m, \quad \rho_m \rightarrow -\rho_e \]
\[ \mathbf{J}_e \rightarrow \mathbf{J}_m, \quad \mathbf{J}_m \rightarrow -\mathbf{J}_e \]
### 影响与意义
1. **理论对称性**：引入磁单极子使麦克斯韦方程组更加对称，符合物理学家对自然界的美学追求。
2. **新的物理现象**：磁单极子的存在将引发一系列新的物理现象，如磁单极子的运动会产生电场，反之亦然。
3. **技术应用**：磁单极子的发现可能开启新的技术领域，如新型磁存储设备、高效能量传输系统等。
4. **基础物理**：磁单极子的发现将对基础物理理论产生深远影响，可能揭示更多关于宇宙早期状态的信息。
综上所述，如果磁单极子被发现，麦克斯韦方程组将需要进行上述修改，以反映磁单极子的存在和影响，这将极大地丰富电磁学理论，并为未来的科学研究和技术应用提供新的方向。
需要修改的是磁场高斯定理和法拉第电磁感应定律。修改方案是仿照电场高斯定理和安培环路定理修改即可。但要注意正负号问题。具体修改结果可见杰克逊的《经典电动力学》。
没有磁单极子。可能很多人认为有电场和磁场两个不同的物质场，其实磁场B与电场E反映的是同一物质场，如果把这一物质场称为电场，则没有另外一个物质场-磁场，或者说电场与磁场是同一物质场，B与E是对同一物质场的两种不同反映。而没有与磁场相应的独立物质场，如何又会有磁单极子？
