为什么物理学中很多公式都带ABB/2项？
2024-11-19 阅读 70
更新于 2024年11月22日
能均分定理，每一个平方项贡献一个KT/2的平均能量。
所以形如平动动能、转动动能、振动势能这种典型的平方项，就成为能量的标准形。
简谐振子之所以这么受欢迎，因为它没别的项，就两个标准的平方项。
其它能量也要尽量往简谐振子上面靠，比如电磁波的能量，也用E^2+B^2，凑成简谐振子的形式。
如果多了个线性项，就吸到平方项里去。如果多了非线性项，那处理起来就麻烦了。
所有这些平方项的出现，都是空间各项同性的必然结果，是对称性的体现。
另一种常见情况是要做变分法，求极大极小值，平方是最简单的函数。
比如自由能和序参数，总是不加讨论先假定为平方关系。还有电阻和温度，黑体辐射强度的频率等等，都是优先假定平方关系。
前面的系数当然无关紧要，1/2是因为求导就约掉了。
我的一个理解：
首先物理中不乏线性系统，即某个物理量y与自变量x成正比。其次，很多物理量都是积分来的。如果把线性系统的y对自变量x做积分，自然就会得到类似于AB^2/2的项。
简单的例子大概有以下几个：
匀加速直线运动：速度是时间的线性函数v=at，路程是速度v对时间t的积分，相当于t的线性函数对t做积分，得到s=at^2/2。
弹簧的弹性势能：弹簧是非常典型的线性系统，其弹力与偏移量成正比，即胡克定律F=kx。势能是弹力F对位移x的积分，得到E=kx^2/2。
电容器的能量：电容也是线性系统，其电压与电荷量成正比，U=CQ，而能量是电压U对电荷量Q的积分，得到E=CQ^2/2。
牛顿力学动能表达式，这个是比较难理解的一个。动量是速度的线性函数p=mv，按照上面的例子，应该是动量p对速度v的积分等于动能。这句话有道理吗？答案当然是有。在分析力学中，物体的拉格朗日量对速度的偏导数就是动量，而自由质点拉格朗日量就是动能，所以从这个角度理解，就可以发现动量对速度的积分等于动能。也就有E=mv^2/2。
其实数学里也有例子，只是藏起来了你没发现。圆的面积公式是πr^2，它也属于同一类例子。你可能会觉得这里也妹有除以2啊？其实除以2被藏起来了，原因如下：圆的周长是半径的线性函数C=2πr，而圆的面积等于周长对半径的积分（只要有微积分基础就能理解这句话），所以圆的面积就是 S=2πr^2/2，分子分母的2约掉了，所以你看不到2了。
不同问题公式结构来源不能一概而论，不过我们大体可以简单从级数展开和对称性的角度进行理解。
假如某个物理量 ff 由参数 xx 决定，那么我们经常可以简单地去做级数展开 f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2+\cdotsf(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2+\cdots
其中的常数项一般是不重要的，可以通过 g(x)= f(x)-f(x_0)g(x)= f(x)-f(x_0) 吸收掉，变量往往可以通过 y=x-x_0y=x-x_0 进行重定义，函数就会变成 g(x)=Ax+Bx^2g(x)=Ax+Bx^2 这种结构。在一些情况下，由于对称性的约束，我们会要求 g(x)=g(-x)g(x)=g(-x) ，最好是个偶函数，此时就自动有 g(x)=Bx^2g(x)=Bx^2 。这在物理上经常体现为类似于在势能/自由能最小值附近进行研究，那么对最小值的偏离都应该导致物理量的增大，而线性项往往会破坏这个特征。因此平方项会表现地很特殊。
平方项的另一个特殊性是通过所谓的配分函数或场论中的生成泛函体现出来的，也就是统计学中经常碰到的高斯分布。此时，平方往往代表的是自由，例如经典物理中，动能项的形式就是 H_0=\frac{\bm p^2}{2m}H_0=\frac{\bm p^2}{2m} ，这一点到了量子理论中就变成了 \hat H_0=\psi^\dagger_a T^{ab} \psi_b\hat H_0=\psi^\dagger_a T^{ab} \psi_b ，也即算符的平方项，这样的理论在量子力学中一般是可以很简单地进行严格求解的，而相互作用则通常体现为四次项 V^{abcd}\psi_a^\dagger \psi^\dagger_b\psi_c\psi_dV^{abcd}\psi_a^\dagger \psi^\dagger_b\psi_c\psi_d 。在场论中进入e指数后，我们处理的通常是
\int d\psi d\psi^* e^{-\psi^* T\psi-V\psi^*\psi^*\psi\psi}\int d\psi d\psi^* e^{-\psi^* T\psi-V\psi^*\psi^*\psi\psi}
在没有四次项的时候，平方项可以通过高斯积分直接积分积出来。而微扰论的标准处理就是把相互作用项（通常为四次项）当作微扰进行展开，其依赖的恰恰就是平方项的自由性、可解析理解性。场论相关可以参考之前的文章。
物理是实验学科。很多时候二次方项 B^2B^2 就已经很好用，仅此而已。系数 A/2A/2 是遵循现有量纲和其他公式协调起来。
所谓物理原理只是猜公式的一套方法，它是有价值的，但不是本质的。
你触碰到关键的一点了！
用微积分、泰勒展开、能量均分等方式回答的都不是物理原理，而是数学计算，我会以后再回答。
我感觉是：一种性质在另外一种性质的基础上线性累计的效果
正定，偶，泰勒展开，导数线性…
