为什么物理学中很多公式都带ABB/2项？
2024-11-19 阅读 28
在物理学中，很多公式中包含ABB/2项的原因是因为这个项通常代表着某种平均值或者平均能量。其中，A代表一个物理量的振幅，B代表另一个物理量的振幅。当这两个物理量相互作用时，它们的平均值或平均能量可以用ABB/2来表示。这种形式的公式在描述波动、振动、相互作用等现象时非常常见，因为它们能够简洁而准确地表达物理系统的特性。
更新于 2024年11月22日
能均分定理，每一个平方项贡献一个KT/2的平均能量。
所以形如平动动能、转动动能、振动势能这种典型的平方项，就成为能量的标准形。
简谐振子之所以这么受欢迎，因为它没别的项，就两个标准的平方项。
其它能量也要尽量往简谐振子上面靠，比如电磁波的能量，也用E^2+B^2，凑成简谐振子的形式。
如果多了个线性项，就吸到平方项里去。如果多了非线性项，那处理起来就麻烦了。
所有这些平方项的出现，都是空间各项同性的必然结果，是对称性的体现。
另一种常见情况是要做变分法，求极大极小值，平方是最简单的函数。
比如自由能和序参数，总是不加讨论先假定为平方关系。还有电阻和温度，黑体辐射强度的频率等等，都是优先假定平方关系。
前面的系数当然无关紧要，1/2是因为求导就约掉了。
我的一个理解：
首先物理中不乏线性系统，即某个物理量y与自变量x成正比。其次，很多物理量都是积分来的。如果把线性系统的y对自变量x做积分，自然就会得到类似于AB^2/2的项。
简单的例子大概有以下几个：
匀加速直线运动：速度是时间的线性函数v=at，路程是速度v对时间t的积分，相当于t的线性函数对t做积分，得到s=at^2/2。
弹簧的弹性势能：弹簧是非常典型的线性系统，其弹力与偏移量成正比，即胡克定律F=kx。势能是弹力F对位移x的积分，得到E=kx^2/2。
电容器的能量：电容也是线性系统，其电压与电荷量成正比，U=CQ，而能量是电压U对电荷量Q的积分，得到E=CQ^2/2。
牛顿力学动能表达式，这个是比较难理解的一个。动量是速度的线性函数p=mv，按照上面的例子，应该是动量p对速度v的积分等于动能。这句话有道理吗？答案当然是有。在分析力学中，物体的拉格朗日量对速度的偏导数就是动量，而自由质点拉格朗日量就是动能，所以从这个角度理解，就可以发现动量对速度的积分等于动能。也就有E=mv^2/2。
其实数学里也有例子，只是藏起来了你没发现。圆的面积公式是πr^2，它也属于同一类例子。你可能会觉得这里也妹有除以2啊？其实除以2被藏起来了，原因如下：圆的周长是半径的线性函数C=2πr，而圆的面积等于周长对半径的积分（只要有微积分基础就能理解这句话），所以圆的面积就是 S=2πr^2/2，分子分母的2约掉了，所以你看不到2了。
不同问题公式结构来源不能一概而论，不过我们大体可以简单从级数展开和对称性的角度进行理解。
假如某个物理量 ff 由参数 xx 决定，那么我们经常可以简单地去做级数展开 f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2+\cdotsf(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2+\cdots
其中的常数项一般是不重要的，可以通过 g(x)= f(x)-f(x_0)g(x)= f(x)-f(x_0) 吸收掉，变量往往可以通过 y=x-x_0y=x-x_0 进行重定义，函数就会变成 g(x)=Ax+Bx^2g(x)=Ax+Bx^2 这种结构。在一些情况下，由于对称性的约束，我们会要求 g(x)=g(-x)g(x)=g(-x) ，最好是个偶函数，此时就自动有 g(x)=Bx^2g(x)=Bx^2 。这在物理上经常体现为类似于在势能/自由能最小值附近进行研究，那么对最小值的偏离都应该导致物理量的增大，而线性项往往会破坏这个特征。因此平方项会表现地很特殊。
