带空气阻力的自由落体，阻力如何做功？
2024-11-19 阅读 21
在带有空气阻力的自由落体运动中，阻力会对物体做负功。当物体向下运动时，空气阻力的方向与速度方向相反，因此阻力会对物体产生一个与速度方向相反的力，从而减缓物体的速度。这导致了阻力对物体所做的功为负值，即阻力做负功，使得物体的动能减小。
更新于 2024年11月21日
由于阻力 f=kv2f=kv^2f=kv^2，其中 k=3k=3k=3 ，那么根据牛顿第二定律：
mdvdt=mg−kv2m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=mg-kv^2 \\m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=mg-kv^2 \\
整理得：
dvmgk−v2=kmdt\frac{\mathrm{d}v}{\frac{mg}{k}-v^2}=\frac{k}{m}\mathrm{d}t \\\frac{\mathrm{d}v}{\frac{mg}{k}-v^2}=\frac{k}{m}\mathrm{d}t \\
根据积分公式：
∫dxb2−x2=12bln|b+xb−x|+C\int\dfrac{\mathrm{d}x}{b^2-x^2}= \dfrac{1}{2b}\ln\left|\dfrac{b+x}{b-x}\right|+C \\\int\dfrac{\mathrm{d}x}{b^2-x^2}= \dfrac{1}{2b}\ln\left|\dfrac{b+x}{b-x}\right|+C \\
取 vm=mgkv_m=\sqrt{\dfrac{mg}{k}}v_m=\sqrt{\dfrac{mg}{k}} ，则左右两方积分得到：
∫0vduvm2−u2=∫0tkmds\int_0^v\dfrac{\mathrm{d}u}{v_m^2-u^2}=\int_0^t\dfrac{k}{m}\mathrm{d}s \\\int_0^v\dfrac{\mathrm{d}u}{v_m^2-u^2}=\int_0^t\dfrac{k}{m}\mathrm{d}s \\
即：
12vmln(vm+vvm−v)=kmt\dfrac{1}{2v_m}\ln\left(\dfrac{v_m+v}{v_m-v}\right)=\dfrac{k}{m}t \\\dfrac{1}{2v_m}\ln\left(\dfrac{v_m+v}{v_m-v}\right)=\dfrac{k}{m}t \\
整理得到：
v=vmtanh(kvmmt)v=v_m\tanh\left(\dfrac{kv_m}{m}t\right) \\v=v_m\tanh\left(\dfrac{kv_m}{m}t\right) \\
其中 tanh(x)=ex−e−xex+e−x\tanh(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\tanh(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} 为双曲正切函数。
可见，当 t→∞t\to \inftyt\to \infty 时，v→vmv\to v_mv\to v_m 为极限稳定速度。
因此，理论上物体到达最大速度所需时间为无穷，因此谈论阻力做功就没有意义了。
但是，如果我们认为在误差允许的情况下，当 v=ηvmv=\eta v_mv=\eta v_m 时，如 η=0.99\eta=0.99\eta=0.99 时，就认为达到了最大速度，那么这个时候是可以计算的。
首先可以计算到达此速度所需时间为
t0=mkvmartanh η=m2kvmln1+η1−ηt_0=\dfrac{m}{kv_m}\mathrm{artanh}~\eta=\dfrac{m}{2kv_m}\ln\dfrac{1+\eta}{1-\eta} \\t_0=\dfrac{m}{kv_m}\mathrm{artanh}~\eta=\dfrac{m}{2kv_m}\ln\dfrac{1+\eta}{1-\eta} \\
则阻力做功：
Wf=−∫0x0kv2dx=−∫0t0kv2⋅vdt=−∫0t0kv3dtW_f=-\int_0^{x_0}kv^2\mathrm{d}x=-\int_0^{t_0}kv^2\cdot v\mathrm{d}t=-\int_0^{t_0}kv^3\mathrm{d}t \\W_f=-\int_0^{x_0}kv^2\mathrm{d}x=-\int_0^{t_0}kv^2\cdot v\mathrm{d}t=-\int_0^{t_0}kv^3\mathrm{d}t \\
