带空气阻力的自由落体，阻力如何做功？
2024-11-19 阅读 59
更新于 2024年11月21日
由于阻力 f=kv2f=kv^2f=kv^2，其中 k=3k=3k=3 ，那么根据牛顿第二定律：
mdvdt=mg−kv2m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=mg-kv^2 \\m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=mg-kv^2 \\
整理得：
dvmgk−v2=kmdt\frac{\mathrm{d}v}{\frac{mg}{k}-v^2}=\frac{k}{m}\mathrm{d}t \\\frac{\mathrm{d}v}{\frac{mg}{k}-v^2}=\frac{k}{m}\mathrm{d}t \\
根据积分公式：
∫dxb2−x2=12bln|b+xb−x|+C\int\dfrac{\mathrm{d}x}{b^2-x^2}= \dfrac{1}{2b}\ln\left|\dfrac{b+x}{b-x}\right|+C \\\int\dfrac{\mathrm{d}x}{b^2-x^2}= \dfrac{1}{2b}\ln\left|\dfrac{b+x}{b-x}\right|+C \\
取 vm=mgkv_m=\sqrt{\dfrac{mg}{k}}v_m=\sqrt{\dfrac{mg}{k}} ，则左右两方积分得到：
∫0vduvm2−u2=∫0tkmds\int_0^v\dfrac{\mathrm{d}u}{v_m^2-u^2}=\int_0^t\dfrac{k}{m}\mathrm{d}s \\\int_0^v\dfrac{\mathrm{d}u}{v_m^2-u^2}=\int_0^t\dfrac{k}{m}\mathrm{d}s \\
即：
12vmln(vm+vvm−v)=kmt\dfrac{1}{2v_m}\ln\left(\dfrac{v_m+v}{v_m-v}\right)=\dfrac{k}{m}t \\\dfrac{1}{2v_m}\ln\left(\dfrac{v_m+v}{v_m-v}\right)=\dfrac{k}{m}t \\
整理得到：
v=vmtanh(kvmmt)v=v_m\tanh\left(\dfrac{kv_m}{m}t\right) \\v=v_m\tanh\left(\dfrac{kv_m}{m}t\right) \\
其中 tanh(x)=ex−e−xex+e−x\tanh(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\tanh(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} 为双曲正切函数。
可见，当 t→∞t\to \inftyt\to \infty 时，v→vmv\to v_mv\to v_m 为极限稳定速度。
因此，理论上物体到达最大速度所需时间为无穷，因此谈论阻力做功就没有意义了。
但是，如果我们认为在误差允许的情况下，当 v=ηvmv=\eta v_mv=\eta v_m 时，如 η=0.99\eta=0.99\eta=0.99 时，就认为达到了最大速度，那么这个时候是可以计算的。
首先可以计算到达此速度所需时间为
t0=mkvmartanh η=m2kvmln1+η1−ηt_0=\dfrac{m}{kv_m}\mathrm{artanh}~\eta=\dfrac{m}{2kv_m}\ln\dfrac{1+\eta}{1-\eta} \\t_0=\dfrac{m}{kv_m}\mathrm{artanh}~\eta=\dfrac{m}{2kv_m}\ln\dfrac{1+\eta}{1-\eta} \\
则阻力做功：
Wf=−∫0x0kv2dx=−∫0t0kv2⋅vdt=−∫0t0kv3dtW_f=-\int_0^{x_0}kv^2\mathrm{d}x=-\int_0^{t_0}kv^2\cdot v\mathrm{d}t=-\int_0^{t_0}kv^3\mathrm{d}t \\W_f=-\int_0^{x_0}kv^2\mathrm{d}x=-\int_0^{t_0}kv^2\cdot v\mathrm{d}t=-\int_0^{t_0}kv^3\mathrm{d}t \\
代入 v(t)v(t)v(t) 的公式，得到：
Wf=−∫0t0kvm3tanh3(kvmmt)dt=−mvm2∫0kvmmt0tanh3(s)ds=−mvm2⋅(12cosh2s+lncosh(s))|0kvmmt0=−mvm2⋅(−12+lncosh(kvmmt0)+12cosh2(kvmmt0))=12mvm2−mvm2(lncosh(kvmmt0)+12cosh2(kvmmt0))=12mvm2−mvm2(lncosh(artanh η)+12cosh2(artanh η))=12mvm2−mvm2(−12ln(1−η2)+1−η22)=−12mvm2(ln11−η2−η2)\begin{aligned} W_f&=-\int_0^{t_0} kv_m^3\tanh^3\left(\dfrac{kv_m}{m}t\right)\mathrm{d}t\\ &=-mv_m^2\int_0^{\frac{kv_m}{m}t_0}\tanh^3(s)\mathrm{d}s\\ &=-mv_m^2\cdot\left(\dfrac{1}{2\cosh^2s}+\ln\cosh(s)\right)\Big|_0^{\frac{kv_m}{m}t_0}\\ &=-mv_m^2\cdot\left(-\dfrac{1}{2}+\ln\cosh(\dfrac{kv_m}{m}t_0)+\dfrac{1}{2\cosh^2(\frac{kv_m}{m}t_0)}\right)\\ &=\dfrac{1}{2}mv_m^2-mv_m^2\left(\ln\cosh(\dfrac{kv_m}{m}t_0)+\dfrac{1}{2\cosh^2(\frac{kv_m}{m}t_0)}\right)\\ &=\dfrac{1}{2}mv_m^2-mv_m^2\left(\ln\cosh(\mathrm{artanh}~\eta)+\dfrac{1}{2\cosh^2(\mathrm{artanh}~\eta)}\right)\\ &=\dfrac{1}{2}mv_m^2-mv_m^2\left(-\dfrac{1}{2}\ln(1-\eta^2)+\dfrac{1-\eta^2}{2}\right)\\ &=-\dfrac{1}{2}mv_m^2\left(\ln\dfrac{1}{1-\eta^2}-\eta^2\right) \end{aligned} \\\begin{aligned} W_f&=-\int_0^{t_0} kv_m^3\tanh^3\left(\dfrac{kv_m}{m}t\right)\mathrm{d}t\\ &=-mv_m^2\int_0^{\frac{kv_m}{m}t_0}\tanh^3(s)\mathrm{d}s\\ &=-mv_m^2\cdot\left(\dfrac{1}{2\cosh^2s}+\ln\cosh(s)\right)\Big|_0^{\frac{kv_m}{m}t_0}\\ &=-mv_m^2\cdot\left(-\dfrac{1}{2}+\ln\cosh(\dfrac{kv_m}{m}t_0)+\dfrac{1}{2\cosh^2(\frac{kv_m}{m}t_0)}\right)\\ &=\dfrac{1}{2}mv_m^2-mv_m^2\left(\ln\cosh(\dfrac{kv_m}{m}t_0)+\dfrac{1}{2\cosh^2(\frac{kv_m}{m}t_0)}\right)\\ &=\dfrac{1}{2}mv_m^2-mv_m^2\left(\ln\cosh(\mathrm{artanh}~\eta)+\dfrac{1}{2\cosh^2(\mathrm{artanh}~\eta)}\right)\\ &=\dfrac{1}{2}mv_m^2-mv_m^2\left(-\dfrac{1}{2}\ln(1-\eta^2)+\dfrac{1-\eta^2}{2}\right)\\ &=-\dfrac{1}{2}mv_m^2\left(\ln\dfrac{1}{1-\eta^2}-\eta^2\right) \end{aligned} \\
如 η=0.99\eta=0.99\eta=0.99 时，Wf≈−2.94×12mvm2W_f\approx -2.94\times\dfrac{1}{2}mv_m^2W_f\approx -2.94\times\dfrac{1}{2}mv_m^2
当然，也可以不这么复杂地直接对阻力做功进行积分，因为那样需要计算 tanh3t\tanh^3t\tanh^3t 的积分，不是很容易。
因此可以运用动能定理转化为求重力做功，那样只需要计算 tanht\tanh t\tanh t 的积分。而且还可以通过积分元的变换绕过对时间积分，变为对速度积分，这样甚至不用计算到达目标速度所需时间：
Wf=ΔEk−WG=12m(ηvm)2−∫0x0mg⋅dx=12η2mvm2−mg∫0t0vdt=12η2mvm2−mg∫0ηvmvdtdv⋅dv=12η2mvm2−mg∫0ηvmvg−kv2mdv=12η2mvm2−mvm2∫0ηvmvvm2−v2dv=12η2mvm2+12mvm2ln(1−η2)=−12mvm2(ln11−η2−η2)\begin{aligned} W_f&=\Delta E_k-W_G\\ &=\dfrac{1}{2}m(\eta v_m)^2-\int_0^{x_0}mg\cdot\mathrm{d}x\\ &=\dfrac{1}{2}\eta^2mv_m^2-mg\int_0^{t_0}v\mathrm{d}t\\ &=\dfrac{1}{2}\eta^2mv_m^2-mg\int_0^{\eta v_m}v\dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}v}\cdot\mathrm{d}v\\ &=\dfrac{1}{2}\eta^2mv_m^2-mg\int_0^{\eta v_m}\dfrac{v}{g-\frac{kv^2}{m}}\mathrm{d}v\\ &=\dfrac{1}{2}\eta^2mv_m^2-mv_m^2\int_0^{\eta v_m}\dfrac{v}{v_m^2-v^2}\mathrm{d}v\\ &=\dfrac{1}{2}\eta^2mv_m^2+\dfrac{1}{2}mv_m^2 \ln(1-\eta^2)\\ &=-\dfrac{1}{2}mv_m^2\left(\ln\dfrac{1}{1-\eta^2}-\eta^2\right) \end{aligned} \\\begin{aligned} W_f&=\Delta E_k-W_G\\ &=\dfrac{1}{2}m(\eta v_m)^2-\int_0^{x_0}mg\cdot\mathrm{d}x\\ &=\dfrac{1}{2}\eta^2mv_m^2-mg\int_0^{t_0}v\mathrm{d}t\\ &=\dfrac{1}{2}\eta^2mv_m^2-mg\int_0^{\eta v_m}v\dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}v}\cdot\mathrm{d}v\\ &=\dfrac{1}{2}\eta^2mv_m^2-mg\int_0^{\eta v_m}\dfrac{v}{g-\frac{kv^2}{m}}\mathrm{d}v\\ &=\dfrac{1}{2}\eta^2mv_m^2-mv_m^2\int_0^{\eta v_m}\dfrac{v}{v_m^2-v^2}\mathrm{d}v\\ &=\dfrac{1}{2}\eta^2mv_m^2+\dfrac{1}{2}mv_m^2 \ln(1-\eta^2)\\ &=-\dfrac{1}{2}mv_m^2\left(\ln\dfrac{1}{1-\eta^2}-\eta^2\right) \end{aligned} \\
得到同样的结果。
