狭义相对论的洛伦兹变换的力的变换式怎么推导？不同参照系的力相等吗？
2024-11-23 阅读 12
狭义相对论中洛伦兹变换是描述不同惯性参考系之间物理量之间的变换关系。对于力的变换式，我们可以从牛顿第二定律出发推导。
假设在一个参考系$S$中，一个质点受到一个力$F$，根据牛顿第二定律$F=ma$，其中$a$是加速度。在另一个相对$S$以速度$v$沿$x$轴运动的参考系$S'$中，同样的质点受到的力为$F'$，加速度为$a'$。
根据洛伦兹变换，时间的变换式为$t'=\gamma(t-vx/c^2)$，其中$\gamma=1/\sqrt{1-(v^2/c^2)}$，空间坐标的变换式为$x'=\gamma(x-vt)$。
我们知道加速度的变换关系为$a'=\gamma(a-v\frac{da}{dt})$，将$a=F/m$代入可得$a'=\gamma(a-v\frac{F}{m}\frac{dt'}{dt})$。再根据链式法则$\frac{dt'}{dt}=\frac{dt'}{dx'}\frac{dx'}{dx}\frac{dx}{dt}=\gamma(1-v\frac{dx'}{dx})$。
代入得到$a'=\gamma(a-v\frac{F}{m}\gamma(1-v\frac{dx'}{dx}))$，化简可得$a'=\gamma^3(a-vF\frac{1-v\frac{dx'}{dx}}{mc^2})$。
最终得到力的变换式为$F'=\gamma^3(F-v\frac{F}{c^2}\frac{dx'}{dt'})$。
在狭义相对论中，不同参考系中的力不相等，力的变换式中包含了速度和坐标的变换，因此力在不同参考系中不是相等的。
更新于 2024年11月25日
