如何评价丘成桐说鸡兔同笼问题，小学生不要用繁琐的《九章算术》解法，就用方程，干脆简单？
2024-11-19 阅读 89
更新于 2024年11月21日
从物理人的角度来说，我实在难以苟同，把所有问题都归结于列方程+解方程两步，反而不利于培养思考问题的直觉和建立物理图像，起码对物理学习研究肯定是不太好的。
视频中转述曲解的丘先生的看法其实是很具有普遍性的，我以前也是这么看，方程一列就求解不就万事大吉了，让鸡腿变多和让兔子抬腿怎么想都很好笑，感觉是多此一举。但这些想象其实也可以被理解为给予了方程求解一个物理意义，这种意义的赋予可以让我们仅仅基于意义上的理解就做出和解方程等价的事情。
在物理学习研究中，高手往往精通一套叫做猜算/定性半定量计算的东西，其关键就是不执着于折腾精确的方程求解和积分，而是强调如何基于最基本的物理意义上的理解和简单的加减乘除把结果连蒙带猜地做出来，精通后者往往能更快抓住问题的精髓。
在实际研究中，我们其实更多会遇到解方程的困境，比如你把一堆耦合的薛定谔方程写出来了，不会解，怎么办？首先应该考虑哪些离子波函数相对是不变的，可以做解耦假设，哪些原子或者电子波函数不是太依赖于所有变量，可以做减少变量依赖的假设，最后往往会得到一些简单得多，物理意义更清楚的方程，此时也许就可以做一些求解了。
像徐一鸿老师的《物理夜航船》就很好地解释了物理学家是怎么思考的，这与精确求解的思维非常不同，最后举一个徐一鸿老师书中的例子，相信能说明不去做定量严格求解的好处。
问题：边长为a,b,c的三角形的面积 AA 等于多少？
首先我们知道边长的量纲是 [a]=L[a]=L ,面积的量纲应该是 [A]=L^2[A]=L^2 。
然后我们分析因子，如果 a+b=ca+b=c ，那么三角形就变成了线段，面积等于0，所以自然假定 A\sim (a+b-c)A\sim (a+b-c) ， a,b,ca,b,c 应该存在对称性，所以 A\sim(a+c-b),A\sim(b+c-a)A\sim(a+c-b),A\sim(b+c-a) ，但这三项相乘得到的是 L^3L^3 ，量纲不对。接下来是猜的部分，我们在算面积的时候，用到的应该是勾股定理，也就是只涉及到平方和开方，不应该出现立方和立法根，所以我们应该考虑 [A^2]=L^4[A^2]=L^4 满足的表达式，而不是 AA 满足的表达式。
那么我们还剩下一个贡献长度量纲的因子 \lambda\lambda ，它必然是同时依赖于 a,b,ca,b,c ，还得和 a,b,ca,b,c 是线性关系，不然就给不出正确的量纲，那么考虑到对称性，最简单的取法实际上就是 a+b+ca+b+c 。因此我们可以猜测
A^2=\alpha(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)A^2=\alpha(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)
考虑极限情况， a=b\rightarrow\inftya=b\rightarrow\infty 的等腰三角形，那么此时底边是 cc ，高正是 aa 或 bb ， A=\frac{1}{2}acA=\frac{1}{2}ac ，我们带入上面的式子就会得到
A^2=\alpha \times 2a\times 2a\times c^2=4\alpha a^2c^2A^2=\alpha \times 2a\times 2a\times c^2=4\alpha a^2c^2
对比可得 \alpha=\frac{1}{16}\alpha=\frac{1}{16} 。于是我们就得到了著名的海伦公式
A^2=\frac{1}{16}(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)A^2=\frac{1}{16}(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)
小学教育有个问题，就是不管方程是不是真的对数学思维有害（很多人这么认为，我不知道是不是真的），禁止用方程都不会真的对数学思维有利。
我们以前四五年级的时候，数学老师也是不推荐用方程，推荐用线段法等等方法。当时比较多的题目有盈亏问题，追及问题，相遇问题等等。老师上课就主要讲画线段的方法。
问题出现了，有一半的同学没学会线段的方法。没学会考试就考不出，这怎么办呢？相信很多人已经想到了，老师就把公式写出来，让他们背，还要默写。比如盈亏问题，每个小朋友分3本书，多出来4本。每个小朋友分5本书呢，又少了2本。有几个小朋友呢？老师就把公式写出来，说人数等于（盈+亏）÷两次分配数之差。这还没完，还把盈亏问题分成三种类型，一盈一亏是一种，两次都是盈是一种，两次都是亏是第三种，每种类型都写了一个公式，都要背。还有工程问题，追及问题，相遇问题，每个问题都分成几种，每种都写了一个公式，都要背。最后总算在考试上没有太掉链子。
请问，到底是谁对数学思维更有害？是所谓的列方程解方程更有害呢？还是把应用题分成很多很多种，每一种都给出公式，要背诵默写公式更有害呢？
省流版本：这本质上是个『因材施教』的故事，根本不涉及『非方程解法是否繁琐』，『方程解法是否简单』的价值判断。
更能反映丘成桐对于鸡兔同笼问题态度的实际上是原视频的最后一句：『答案是对的就行了』。
换而言之就是这题目怎么做都行，传统法也好方程法也好，做出正确答案就行，所以传统法理解不了但是能理解方程法的话，那么我们就用方程法做。
这就像高中数学立体几何一样，实在找不到正确的二面角，咱就建系呗，非要说成『耻辱建系』，或者非要说『这不是建系是立体几何吴方法』来争个高低吗？
你告诉我建系拿的12分和传统法拿的12分，哪个12分更高尚？
还是真的觉得这12分还真能评价你适不适合研究数学了？
详细版本怎么说呢，题目中的观点大概率不可能是丘成桐老师的原话。。。
我曾经听人说在知乎这个地方，有一种传统美德叫作“先问是不是，再问为什么”。确实是这样的，在没有确定消息的真实性的对于消息大发议论，就好像是没有根的树木一样不存在坚实的基础，又像在空中随风飘荡的柳絮一样没有依据。这能够让人像从竹筒中偷窥豹子的花纹一样，理解知乎用户对于问题真实性的重视程度。
所以我们得先信息溯源，找到原始报道才能进行评价。
信息溯源题目中的截图最原始的来源是北京卫视《大先生》栏目20230916期，2023全国科普日特别节目之《几何人生报家国》，原始视频链接如下：
具体提及鸡兔同笼问题则是从视频的10:34开始至10:53秒为止。
内容可以概括为：丘成桐谈起自己曾经把一个数学零分的小朋友教成了满分，原因在于此学生不理解老师课堂中讲『鸡兔同笼』问题的公式，也不知道如何代入，于是他就介绍了初中的方程做法，使得孩子能更好地得出正确答案。
具体截图如下：
其实可能就是学生理解不了或者不想理解老师教的做法，那么此时换个角度去讲就会更便于学生的理解。
这一点对小学生来说太正常了。尤其是和任课老师关系不好的学生，甚至会排斥用任课老师教的做法，非要用其他方式来理解。这时候给他一个其他方法的教学效果真的会比死磕原本方法要好的多。
对于鸡兔同笼的态度实际上从截图里面也能看出来，真的在评价鸡兔同笼问题的只有最后一句话：『答案是对的就行了』。
小学数学就那么点东西，真的没有特别重视所谓的『数学思想』。
传统方法也好，方程也好，这些东西真的没有那么重要。也不是说使用传统方法就一定能让人加深了对于所谓的『变量』的理解，更多的小朋友大概率还是在浑浑沌沌地代公式，还是个不理解具体含义地公式，这时用一个小朋友更能理解的方程来快速得出答案完全没有问题的。
更进一步来说，小学数学乃至奥数里面的『数学思想』，本质上是小学数学东西太杂的结果。什么东西都有一点，看起来考的是数学思想，实际上考的是知识量。
这种题目真的就是只要『答案是对的就行』，具体怎么做的，只要不是从别人卷子上抄的，真的怎么做都行。
当然，这里还要明确『答题规范』和『禁止使用超纲知识点』的区别。评论区中提到了一个『中考禁止使用三角法』的情况，我没有检索到相应的信息来源。但从我当学生的经历来看，这大概率是以讹传讹的结果。实际上中考和高考中都不存在『禁止使用超纲知识点』，只不过使用了超纲知识点极其容易出现答题不规范的情况，导致很多老师在教学实践中会回避这类知识点的教授，并『一刀切』地禁止学生使用类似的方式解题。
但在高考中实际上并不是这样的。
高中数学里面最『经典』的超纲知识点应该是『洛比达法则』，以至于经典到了存在『洛比达法则由于可以秒杀导数大题而在高考中被禁止使用』的都市传说。
但是实际上显然不是这样的。
首先，洛比达法则并不能秒杀导数大题，或者说能被洛比达秒杀的导数大题都是命题事故；其次，洛比达法则在高考中也没有被禁止使用，只不过作为超纲知识点，使用洛比达法则作为引理必须要先证明再使用。类似情况的还有立体几何中的三余弦定理，在解答题中使用三余弦的话必须得自己证明一遍。
打个比方的话，阅卷老师就像一个只有『标准库的python』一样，考生是不能随心所欲地import任意一个库的。这时候使用非标准库只有自己现场手搓一个丐版轮子。这样的『轮子制作艺术』获益程度也可以侧面评价命题人的水平：漂亮的命题就是让手搓行为得不偿失，垃圾的命题则是让手搓行为获益匪浅。
丘成桐说的对，小学数学应用题这种变态的约束没有任何意义，偏离了数学的主旨，磨灭了孩子的兴趣。不光数学，语文也一样，太多毫无意义的训练，浪费大量时间精力。培养学习兴趣是小学的第一任务，兴趣是最大的学习动力，只要有学习兴趣，包括学习习惯、基本功，都能比较好地培养出来。指导小学教育这些人，不知道是怎么想的。
回复一下评论：如果你天生对一样事情不感兴趣，兴趣确实是很难培养的，这个大家都承认。但这个难点恰恰就是教育工作者需要花心思、下功夫设计的，不然要你教育工作者干什么？孩子天生对什么感兴趣，你就依着他的兴趣，天生对什么不感兴趣，你也随他。兴趣难培养，你干脆就不培养，直接来硬的，强迫大量练习，在毫无兴趣的情况下，这就是一种折磨，经历过的大家都知道，效果很差的。兴趣确实是后天培养的，而且天生的兴趣很可能是表面的，很容易消失，这也就是三分钟热度的原因，比如物理，有些孩子开始对物理非常有兴趣，尤其对各种现象，但真正接触到这个学科之后，会发现它里面有很多数学推导，孩子又不感兴趣了，这时真正培养的是对逻辑推理的兴趣，领略到数学的美，而不是仅仅实验现象表面的兴趣。这是需要义务教育做宏观设计的人和一线老师共同努力改革的。
评论区说的没错，每个小孩的兴趣点都不一样，很难一对一的去培养。但不能因噎废食，不好做就一点都不做，如果小学数学每个知识点，教材编写者都能花心思去研究教学方法，整体效果肯定会好，课堂气氛只要活跃一点点，很多本来不感兴趣的学生都会被带动起来，这是化学反应，1+1>2。
另外，总体感觉现在小孩比几十年前聪明了，因为他们接触的信息量很大，见多识广，而教材却依然停留在几十年前的水平，没有与时俱进。数学教材应该向英语教材学习，尽早进入整个学科教育体系的轨道制，不能 自立一个“小学数学”的门户，把大量时间精力浪费于弱智的、毫无意义也毫无用处的训练。
菲尔兹奖得主不懂数学的吧。只有我们宝爸宝妈才懂，小学数学课本是不可多得的经典，不按照上面说的方式培养数学思维，那么宝宝就一定会变成学不会数学的坏学生！
虽然最后高考140、竞赛拿奖的学生里有一半都是这种“学不会数学的坏学生”
