如何评价丘成桐说鸡兔同笼问题，小学生不要用繁琐的《九章算术》解法，就用方程，干脆简单？
2024-11-19 阅读 29
评价丘成桐教授提倡简单方程解法的观点是合理的。通过使用方程解法，小学生可以更直观地理解问题，简化解题过程，培养逻辑思维能力。这种方法有助于提高学生对数学问题的兴趣和自信心，使数学学习更加生动有趣。同时，简单方程解法也符合现代数学教育的趋势，强调理解和应用数学知识，而不仅仅是机械记忆算法。因此，鼓励学生使用方程解法是有益的，可以促进他们数学思维的发展。
更新于 2024年11月21日
从物理人的角度来说，我实在难以苟同，把所有问题都归结于列方程+解方程两步，反而不利于培养思考问题的直觉和建立物理图像，起码对物理学习研究肯定是不太好的。
视频中转述曲解的丘先生的看法其实是很具有普遍性的，我以前也是这么看，方程一列就求解不就万事大吉了，让鸡腿变多和让兔子抬腿怎么想都很好笑，感觉是多此一举。但这些想象其实也可以被理解为给予了方程求解一个物理意义，这种意义的赋予可以让我们仅仅基于意义上的理解就做出和解方程等价的事情。
在物理学习研究中，高手往往精通一套叫做猜算/定性半定量计算的东西，其关键就是不执着于折腾精确的方程求解和积分，而是强调如何基于最基本的物理意义上的理解和简单的加减乘除把结果连蒙带猜地做出来，精通后者往往能更快抓住问题的精髓。
在实际研究中，我们其实更多会遇到解方程的困境，比如你把一堆耦合的薛定谔方程写出来了，不会解，怎么办？首先应该考虑哪些离子波函数相对是不变的，可以做解耦假设，哪些原子或者电子波函数不是太依赖于所有变量，可以做减少变量依赖的假设，最后往往会得到一些简单得多，物理意义更清楚的方程，此时也许就可以做一些求解了。
像徐一鸿老师的《物理夜航船》就很好地解释了物理学家是怎么思考的，这与精确求解的思维非常不同，最后举一个徐一鸿老师书中的例子，相信能说明不去做定量严格求解的好处。
问题：边长为a,b,c的三角形的面积 AA 等于多少？
首先我们知道边长的量纲是 [a]=L[a]=L ,面积的量纲应该是 [A]=L^2[A]=L^2 。
然后我们分析因子，如果 a+b=ca+b=c ，那么三角形就变成了线段，面积等于0，所以自然假定 A\sim (a+b-c)A\sim (a+b-c) ， a,b,ca,b,c 应该存在对称性，所以 A\sim(a+c-b),A\sim(b+c-a)A\sim(a+c-b),A\sim(b+c-a) ，但这三项相乘得到的是 L^3L^3 ，量纲不对。接下来是猜的部分，我们在算面积的时候，用到的应该是勾股定理，也就是只涉及到平方和开方，不应该出现立方和立法根，所以我们应该考虑 [A^2]=L^4[A^2]=L^4 满足的表达式，而不是 AA 满足的表达式。
那么我们还剩下一个贡献长度量纲的因子 \lambda\lambda ，它必然是同时依赖于 a,b,ca,b,c ，还得和 a,b,ca,b,c 是线性关系，不然就给不出正确的量纲，那么考虑到对称性，最简单的取法实际上就是 a+b+ca+b+c 。因此我们可以猜测
A^2=\alpha(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)A^2=\alpha(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)
考虑极限情况， a=b\rightarrow\inftya=b\rightarrow\infty 的等腰三角形，那么此时底边是 cc ，高正是 aa 或 bb ， A=\frac{1}{2}acA=\frac{1}{2}ac ，我们带入上面的式子就会得到
A^2=\alpha \times 2a\times 2a\times c^2=4\alpha a^2c^2A^2=\alpha \times 2a\times 2a\times c^2=4\alpha a^2c^2
对比可得 \alpha=\frac{1}{16}\alpha=\frac{1}{16} 。于是我们就得到了著名的海伦公式
A^2=\frac{1}{16}(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)A^2=\frac{1}{16}(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)
小学教育有个问题，就是不管方程是不是真的对数学思维有害（很多人这么认为，我不知道是不是真的），禁止用方程都不会真的对数学思维有利。
我们以前四五年级的时候，数学老师也是不推荐用方程，推荐用线段法等等方法。当时比较多的题目有盈亏问题，追及问题，相遇问题等等。老师上课就主要讲画线段的方法。
问题出现了，有一半的同学没学会线段的方法。没学会考试就考不出，这怎么办呢？相信很多人已经想到了，老师就把公式写出来，让他们背，还要默写。比如盈亏问题，每个小朋友分3本书，多出来4本。每个小朋友分5本书呢，又少了2本。有几个小朋友呢？老师就把公式写出来，说人数等于（盈+亏）÷两次分配数之差。这还没完，还把盈亏问题分成三种类型，一盈一亏是一种，两次都是盈是一种，两次都是亏是第三种，每种类型都写了一个公式，都要背。还有工程问题，追及问题，相遇问题，每个问题都分成几种，每种都写了一个公式，都要背。最后总算在考试上没有太掉链子。
请问，到底是谁对数学思维更有害？是所谓的列方程解方程更有害呢？还是把应用题分成很多很多种，每一种都给出公式，要背诵默写公式更有害呢？
省流版本：这本质上是个『因材施教』的故事，根本不涉及『非方程解法是否繁琐』，『方程解法是否简单』的价值判断。
更能反映丘成桐对于鸡兔同笼问题态度的实际上是原视频的最后一句：『答案是对的就行了』。
