我是物理系学生，但是我接受不了各种数学近似，怎么办？
2024-11-19 阅读 85
更新于 2024年11月21日
数学物理的一个分支非常适合您，那就是可积系统，也可以叫精确可解系统。
这个分支在于描述有精确解的物理系统，并且解释什么样的机制导致精确解。
精确可解系统这门学科里的最高冠名荣誉，就是发现了一个有精确解的系统。
更高的荣誉是发现普适性的数学机制，比如初积分、层次、动力学代数、超对称、指标定理……
我们的整个领域都跟各种近似水火不容，几乎可以说是看见近似就避之不及。
题主的体质可以放心的进入我们这个领域，而不受近似导致的副作用的影响。
物理与这种严格精确的印象恰恰相反，物理的精髓就是从大量纷繁复杂的信息中提取出最重要的主导因素，从而实现对现象的有效理解。
比如，当我们研究费米液体或者超导现象时，原则上你可以把一个巨复杂，希尔伯特空间维度巨高的哈密顿量写出来做对角化，然后什么性质都有了。且不说人类不可能做到这一点，即便能做到，我们一般也不认为这是理解了物理现象，物理得有点巧劲。因此，我们一般认为只有像BCS理论那样，做最极限的简化，用最简单的电声子配对图像去解决几乎所有现象上的问题，这才叫把机制彻底理解清楚了。
实际上，在物理研究中，最牛逼的那一档往往是四两拨千斤，用最简单的最粗糙的计算就把最重要最核心的物理搞定，这点能神功大成的基本都是物理学大师。数学是帮我们把握物理对象和过程的手段，数学本身不是目的。
其实稍微想想就知道，同样一个体系，假如你吭哧吭哧算了一年，用暴力方法得到了足够精确的结果。然后隔壁大佬花了一个小时做了一堆近似，直接做出来了一个简单的代数解，两个结果相差不到1%。这个谁比较牛逼呢？其实一目了然对吧。
物理追求的是有效，是解决问题，是形成简单清晰的理解，而不是要在数学上保持严格(不是说不要严谨)。如果过分执着于不必要的细节，那可能是不太适合学习物理的。
如果你想要学好物理本身，而不是学到一堆假装成物理的奇怪数学，就必须首先明白，近似某种意义上比精确更重要，少比多更多。你正在接触的这部分知识真正的思想精髓不在平凡但严密的推导里，而在恰当的视角和巧妙的处理中。数学不是被描述的东西本身，而是用来描述那个东西所采用的尽量贴切的语言。
如果一定只喜欢严格的形式运算，那尽早转数学系，那边明显更严密些。
作为一个物理系的学生，都接受不了各种数学近似的话，那就只能说明一点，你不适合学物理，甚至不适合学习任何科学。要知道当今任何一门科学中的很多都只不过是一种近似，因为科学越往后发展，我们对一个问题的了解越精确，会提出更深且更精确的新的理论。
物理学中的近似，与其说是一种数学上的妥协，不如说这本身就是物理学的智慧。因为用近似的数学推导出来的物理定律，竟然在很多场景下都是非常精确的，由此预测出来的很多结果也是相当精确的：比如量子电动力学中电子反常磁矩和氢原子能级的兰姆位移(Lamb shift) 的解释，理论预测的值精确度非常高，在小数点后面11位，仍然可以与实验保持一致。
回到题主的问题上来，还没怎么学物理的情况下就预先在自己心中设置了一道无形的枷锁，这并不适合学物理，因为学物理乃至任何科学都是需要open minded，科学并不是宗教。后者需要崇尚于某一个理念，并且被认为是坚不可摧的，无法动摇的信念。因此，宗教的这种信念本身是反科学的。
如果说科学或者物理学中有一种信念，那就是必须要对现实世界中的行为做出精确预测和解释。有些理论看起来非常离谱，天马行空，但却能跟实验精确的保持一致，那也是可以接受的。有些理论看起来十分的合理，但是一直没有任何直接或者间接的实验验证，也很难说明这个理论就是可以接受的。
这种自称接受不了小量近似的鉴定为自己基本没做过啥数值计算。
只写一堆字母的式子，然后你莫名其妙把后面的项丢掉你当然受不了。你但凡自己真代入数字去算几个例子，发现后面那些项加起来只是前面的10^{-4} 之类的量级，我就不信还接受不了。
说这叫纯数品味适合做纯数的纯属刻板印象（甚至不是正确的刻板印象）了，纯数不搞近似？纯数近似起来才是最狠的，你看分析的不等式，除了那种best constant正好很重要（比如一些能量相除变分的best constant正好是对应PDE的ground state soliton的能量）的情况，其他的情况纯数学家心里只有三个数：0，1，无穷...任何有限常数倍下相互控制就没区别...
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顺带，为啥会有人觉得我说的“纯数近似起来才是最狠的”是PDE独有的。。。？
几何、数论、组合、代数哪个不是这样？
经典的几个例子：组合数论几何用各种bound，或者只要求结论对充分大的数成立这种就不说了。
就比如双有理几何，研究过分精细algebraic variety的classification（分类？）对现阶段naive的人类来说是hopeless的，所以产生了birational geometry之类的纲领，modulo一个正codimension的部分研究分类，于是衍生出了minimal model program之类的东西...没懂这比“把低阶项丢掉/不管常系数”的近似精准在哪里.. 大家商掉的东西不一样罢了..
