量子系统过渡到经典系统的分界线在哪里？
2024-11-19 阅读 12
更新于 2024年11月21日
这个问题最“正统”的回答就是普朗克常量 hh 会不会显式的出现。但很遗憾，这可以说是一句正确的废话，因为量子系统过渡到经典系统的分界线在哪里就是在说当我们面对一个全新的系统，一上手应是可以用（半）经典理论处理呢？还是必须用量子理论来做，而问题在于求解哈密顿量之前我们是没法直接预知普朗克常量 hh 会不会显式的出现的。我们需要的是某种判据，举两个简单的例子：
为什么固体物理里处理晶格振动时可以直接用牛顿运动定律？不是足够小的东西的就应该用量子力学，不是宏观的东西就应该用经典力学。对于这个问题，我们需要计算所谓量子简并效应的临界温度，设晶格间距为 aa ，且 \lambda\sim a\lambda\sim a （注意这个规定暗示了考虑的是集体运动），对于平衡态有 \frac{1}{2}mv^2=\frac{3}{2}kT\,\,,\,\lambda=h/mv\,\,,v\,\sim\sqrt{T}\frac{1}{2}mv^2=\frac{3}{2}kT\,\,,\,\lambda=h/mv\,\,,v\,\sim\sqrt{T} ，算得 T_c=\frac{h^2}{3mka^2}T_c=\frac{h^2}{3mka^2} 。当 T\gg T_cT\gg T_c 时可以使用经典力学来处理，当 T
量子系统过渡到经典系统的分界线是一个复杂的科学问题，涉及量子力学和经典力学之间的桥梁。这一过渡通常被称为“量子到经典的过渡”或“量子经典对应”。理解这一过渡的关键在于量子相干性和退相干机制。
量子到经典的过渡量子系统和经典系统的区别在于量子系统的波函数描述了系统的概率幅，而经典系统的轨迹描述了确定性的运动。量子系统的波函数 \psi(x,t)\psi(x,t) 满足薛定谔方程： i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+V(x)\psi\\i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+V(x)\psi\\其中：\hbar\hbar 是约化普朗克常数，mm 是粒子的质量，V(x)V(x) 是势能函数。
退相干机制量子系统的相干性是指波函数的不同部分之间存在相位关系。当系统与环境相互作用时，这种相干性会被破坏，导致波函数的各个部分失去相位关系，从而表现出经典行为。这一过程称为退相干。
退相干可以通过环境引起的扰动来描述。假设一个量子系统与环境相互作用，环境的扰动可以用一个随机势 V_\text{env}(x,t)V_\text{env}(x,t) 来表示。系统的总哈密顿量可以写为： H=H_0+H_\text{int}+H_\text{env}\\H=H_0+H_\text{int}+H_\text{env}\\其中：H_0H_0 是系统的自由哈密顿量，H_\text{int}H_\text{int} 是系统与环境的相互作用项，H_\text{env}H_\text{env} 是环境的哈密顿量。
减密度矩阵为了描述退相干过程，通常使用减密度矩阵 ρρ。减密度矩阵是一个描述系统状态的矩阵，可以通过对波函数的外积来定义： \rho=\left|\psi\right>\left为了更好地理解量子到经典的过渡，我们可以进行数值模拟。以下是一个Python代码示例，用于模拟一个简谐振子的退相干过程：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
