量子系统过渡到经典系统的分界线在哪里？
2024-11-19 阅读 103
更新于 2024年11月21日
这个问题最“正统”的回答就是普朗克常量 hh 会不会显式的出现。但很遗憾，这可以说是一句正确的废话，因为量子系统过渡到经典系统的分界线在哪里就是在说当我们面对一个全新的系统，一上手应是可以用（半）经典理论处理呢？还是必须用量子理论来做，而问题在于求解哈密顿量之前我们是没法直接预知普朗克常量 hh 会不会显式的出现的。我们需要的是某种判据，举两个简单的例子：
为什么固体物理里处理晶格振动时可以直接用牛顿运动定律？不是足够小的东西的就应该用量子力学，不是宏观的东西就应该用经典力学。对于这个问题，我们需要计算所谓量子简并效应的临界温度，设晶格间距为 aa ，且 \lambda\sim a\lambda\sim a （注意这个规定暗示了考虑的是集体运动），对于平衡态有 \frac{1}{2}mv^2=\frac{3}{2}kT\,\,,\,\lambda=h/mv\,\,,v\,\sim\sqrt{T}\frac{1}{2}mv^2=\frac{3}{2}kT\,\,,\,\lambda=h/mv\,\,,v\,\sim\sqrt{T} ，算得 T_c=\frac{h^2}{3mka^2}T_c=\frac{h^2}{3mka^2} 。当 T\gg T_cT\gg T_c 时可以使用经典力学来处理，当 T
量子系统过渡到经典系统的分界线是一个复杂的科学问题，涉及量子力学和经典力学之间的桥梁。这一过渡通常被称为“量子到经典的过渡”或“量子经典对应”。理解这一过渡的关键在于量子相干性和退相干机制。
量子到经典的过渡量子系统和经典系统的区别在于量子系统的波函数描述了系统的概率幅，而经典系统的轨迹描述了确定性的运动。量子系统的波函数 \psi(x,t)\psi(x,t) 满足薛定谔方程： i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+V(x)\psi\\i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+V(x)\psi\\其中：\hbar\hbar 是约化普朗克常数，mm 是粒子的质量，V(x)V(x) 是势能函数。
退相干机制量子系统的相干性是指波函数的不同部分之间存在相位关系。当系统与环境相互作用时，这种相干性会被破坏，导致波函数的各个部分失去相位关系，从而表现出经典行为。这一过程称为退相干。
退相干可以通过环境引起的扰动来描述。假设一个量子系统与环境相互作用，环境的扰动可以用一个随机势 V_\text{env}(x,t)V_\text{env}(x,t) 来表示。系统的总哈密顿量可以写为： H=H_0+H_\text{int}+H_\text{env}\\H=H_0+H_\text{int}+H_\text{env}\\其中：H_0H_0 是系统的自由哈密顿量，H_\text{int}H_\text{int} 是系统与环境的相互作用项，H_\text{env}H_\text{env} 是环境的哈密顿量。
减密度矩阵为了描述退相干过程，通常使用减密度矩阵 ρρ。减密度矩阵是一个描述系统状态的矩阵，可以通过对波函数的外积来定义： \rho=\left|\psi\right>\left为了更好地理解量子到经典的过渡，我们可以进行数值模拟。以下是一个Python代码示例，用于模拟一个简谐振子的退相干过程：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.linalg import expm
# 定义常数
hbar = 1.0 # 约化普朗克常数
m = 1.0 # 粒子质量
omega = 1.0 # 角频率
k = m * omega**2 # 力常数
dt = 0.01 # 时间步长
t_max = 10 # 总时间
N = 100 # 网格点数
# 定义位置网格
x = np.linspace(-10, 10, N)
dx = x[1] - x[0]
# 定义哈密顿量矩阵
H = -0.5 * hbar**2 / m / dx**2 * (np.diag(np.ones(N-1), -1) - 2 * np.diag(np.ones(N)) + np.diag(np.ones(N-1), 1)) + 0.5 * m * omega**2 * np.diag(x**2)
# 定义初态波函数（高斯波包）
sigma = 1.0
x0 = 0.0
k0 = 1.0
psi0 = (1 / (np.pi * sigma**2)**0.25) * np.exp(-(x - x0)**2 / (4 * sigma**2)) * np.exp(1j * k0 * x)
# 计算初态密度矩阵
rho0 = np.outer(psi0, np.conj(psi0))
# 时间演化
times = np.arange(0, t_max, dt)
rhos = [rho0]
for t in times:
rho_next = expm(-1j * H * dt / hbar) @ rhos[-1] @ expm(1j * H * dt / hbar)
rhos.append(rho_next)
# 计算密度矩阵的对角元素
diagonals = [np.diag(rho) for rho in rhos]
# 绘制结果
plt.figure()
for t, diagonal in zip(times, diagonals):
plt.plot(x, np.real(diagonal), label=f't = {t:.2f}')
plt.xlabel('Position (x)')
plt.ylabel('Diagonal of Density Matrix')
plt.title('Density Matrix Diagonal over Time')
plt.legend()
plt.show()量子系统过渡到经典系统的分界线在于退相干机制。当系统与环境相互作用时，量子相干性被破坏，系统的行为逐渐接近经典。退相干时间尺度 \tau_\text{decoherence}\tau_\text{decoherence} 是决定这一过渡的关键参数。
量子系统与宏观经典并没有明确分界线；如果一定要说有的话：我们这边称之为介观物理学；实际上任何尺寸都有量子力学作为其本质作为其大道无形；另外一个宏观量子现象太多了吧？？凝聚态物理极低温极高压等等一系列问题吧？！：所有的物质都应该看着德布罗意波物质波；其中的波动相位就是四维能动量与四维时空内积不变性：时间相结合空间；四维时空 构建内积不变性间隔：才是真实的存在，反过来三维空间；一维度时间，都是间隔不变性的侧影现象学……另外一个拓扑相位之类的东西，本质上就是四维能动量相结合四维时空内积不变性，拓扑相位也是最真实的实体存在本体论；其他协变逆变矢量张量协变性……都是实体性不变性的投影侧影……爱因斯坦广义相对论找到了爱因斯坦希尔伯特作用量……找到了黎曼曲率标量……也都是不变性实体本体论……所有的矢量张量全部都是协变性侧影现象学……只有内积不变性才是王道！
没有确定的数值(无论是质量，能量或尺度)，而且也和应用相关。在给某个系统的某种应用建立好数学模型后，若公式中不出现普朗克常数h，就是经典系统，反之亦然。或者说经典理论己经无法解决某系统的现象或原理时，该系统为量子系统。现在己发现许多大到细胞级别的量子现象。
这个我知道，在不同必然性与偶然性之间那渐变的经典联系直观中，或相关物理量需要被定义的频率变换的标志之中，这就是从量子系统到经典系统的分界线，真理如同我言，如此简约，如此乐趣，如此常然，如此常在。非要举例说明就是这个系统的划分可以明确的找到分型诞生瓦解过程、认识可知未知过程，如此哲学得以显现、认识得以确立。当其联系归一，即回归人意识本身，那便是世界的域、疆域，人类世界的疆域，科学无法启及之地，这也是公理之所以为公理因其简而言之的能够描述与诉说，如同我言、我识，如同恒有常在简约的物理法则及其物理公式与数理语言本身，又与汉字有啥区别？不如字母可无限制叠加、但更为现实中认识性全满的稳定，由此满起，便为扶持八旗之缘由，甘为极点之下。
