自旋1/2系统，一个方向的正负2个基矢为什么完备？
2023-09-01 阅读 41
在量子力学中，自旋1/2系统是描述粒子自旋的一个模型。自旋1/2系统的基矢可以表示为$|\uparrow\rangle$和$|\downarrow\rangle$，分别代表自旋向上和自旋向下的状态。这两个基矢是完备的，意味着任意一个自旋1/2系统的状态都可以用它们的线性组合来表示。
为了理解为什么这两个基矢是完备的，我们可以考虑自旋1/2系统的Hilbert空间。自旋1/2系统的Hilbert空间是二维复数向量空间，可以用一个二维列向量表示。$|\uparrow\rangle$和$|\downarrow\rangle$可以分别表示为如下的列向量：
$|\uparrow\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$
$|\downarrow\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$
任意一个自旋1/2系统的态矢可以表示为一个二维列向量，例如$|\psi\rangle = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$，其中$a$和$b$是复数。我们可以用$|\uparrow\rangle$和$|\downarrow\rangle$的线性组合来表示$|\psi\rangle$，即$|\psi\rangle = a|\uparrow\rangle + b|\downarrow\rangle$。这表明任意一个自旋1/2系统的态矢都可以用$|\uparrow\rangle$和$|\downarrow\rangle$的线性组合来表示，因此这两个基矢是完备的。
总结起来，自旋1/2系统的基矢$|\uparrow\rangle$和$|\downarrow\rangle$是完备的，因为任意一个自旋1/2系统的态矢都可以用它们的线性组合来表示。
更新于 2023年09月01日
