用薛定谔方程如何推导氢原子的径向方程?
2024-12-04 阅读 14
薛定谔方程描述了量子系统的波函数随时间和空间的演化。对于氢原子，可以将薛定谔方程分解为径向方程和角向方程。下面我将简要介绍如何推导氢原子的径向方程：
首先，我们将氢原子的波函数表示为分离变量的形式：
\[\Psi(r, \theta, \phi) = R(r)Y(\theta, \phi)\]
其中，\(R(r)\)是径向波函数，\(Y(\theta, \phi)\)是角向波函数。
将波函数代入薛定谔方程，得到：
\[\frac{-\hbar^2}{2\mu} \left( \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr} \left( r^2 \frac{dR}{dr} \right) \right) + V(r)R(r) = ER(r)\]
其中，\(\mu\)是氢原子的约化质量，\(V(r)\)是氢原子的势能，\(E\)是氢原子的能量。
接下来，我们将径向波函数\(R(r)\)表示为：
\[R(r) = \frac{u(r)}{r}\]
将上式代入径向方程，可以得到：
\[-\frac{\hbar^2}{2\mu} \frac{d^2u}{dr^2} + \left( V(r) + \frac{\hbar^2}{2\mu} \frac{l(l+1)}{r^2} \right)u = Eu\]
这就是氢原子的径向方程。在这个方程中，\(l\)是角动量量子数，用来描述角向动量的大小。解决这个方程可以得到氢原子的径向波函数，从而得到氢原子的波函数。
更新于 2024年12月05日
