高维情况有没有叉乘运算？怎么计算？
2024-12-04 阅读 71
在高维空间中，叉乘运算通常用于三维空间中的向量叉乘，而在四维或更高维空间中，叉乘运算并没有直接的推广。在高维空间中，我们通常使用外积（wedge product）来代替叉乘运算。外积是一种更一般化的向量运算，适用于任意维度的向量。
外积的计算方法取决于所处的空间维度。在三维空间中，我们有叉乘运算来计算两个向量的外积。在更高维空间中，我们可以使用外积的定义来计算。假设有两个向量\( \mathbf{u} = (u_1, u_2, \ldots, u_n) \)和\( \mathbf{v} = (v_1, v_2, \ldots, v_n) \)，它们的外积定义为：
\[ \mathbf{u} \wedge \mathbf{v} = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) u_{\sigma(1)} v_{\sigma(2)} \ldots v_{\sigma(n)} \]
其中\( S_n \)是一个包含所有\( n \)个元素的置换的集合，\( \text{sgn}(\sigma) \)是置换\( \sigma \)的符号，它等于1或-1，取决于置换的奇偶性。这个公式描述了向量的外积在高维空间中的计算方式。
更新于 2024年12月05日
