(左/右/双侧)零因子生成的子环是否是一个(左/右/双侧)理想呢?
2024-12-02 阅读 89
对于一个环$R$和一个零因子$a\in R$，我们考虑由$a$生成的子环$S=\{ra\mid r\in R\}$。如果$a$是左零因子，即存在$b\neq 0$使得$ab=0$，那么$S$是一个左理想，因为对于任意的$s\in S$和$r\in R$，我们有$rsa=(rs)a\in S$。同样地，如果$a$是右零因子，那么$S$是一个右理想。
然而，如果$a$是一个双侧零因子，即既是左零因子又是右零因子，那么$S$不一定是一个双侧理想。这是因为对于任意的$s\in S$和$r\in R$，我们有$rsa=(rs)a\in S$，但是对于某些$r\in R$，$ars=a(rs)=0$，但$ars\notin S$。因此，$S$不一定是一个双侧理想。
更新于 2024年12月03日
