如何计算地球和太阳之间的距离？
2024-11-19 阅读 23
地球和太阳之间的平均距离约为1天文单位（AU），即约1.496 × 10^8公里。这个数值是通过观测地球和太阳之间的平均距离来确定的。
更新于 2024年11月22日
这里先展示一个结果正确的方法，就是用万有引力定律计算地球和太阳的距离。这个计算过程简单且结果正确，但却是一个有问题的解法。计算如下：
我们知道万有引力提供了地球绕太阳运动的向心力，所以有万有引力等于离心力，写成公式就是：
\frac{mv^2}{r} = \frac{GMm}{r^2} \frac{mv^2}{r} = \frac{GMm}{r^2}
这里，r就是题目中待求的距离，M是太阳的质量，v是地球的公转速度，G是引力常数。
上面公式简化后得到：
r = \frac{GM}{v^2} r = \frac{GM}{v^2}
地球的公转速度未知，但是我们可以把公转速度转换成周期的函数，即
v = \omega r = \frac{2\pi r}{T} v = \omega r = \frac{2\pi r}{T}
这里， \omega \omega 是角速度，T是公转周期，这是已知的，地球绕太阳公转一圈的周期是一年，所以，将这个速度公式代入前面的方程，可以得到地球和太阳之间距离的公式：
r = \left( \frac{GMT^2}{4\pi^2} \right)^{1/3} r = \left( \frac{GMT^2}{4\pi^2} \right)^{1/3}
根据此公式计算，地球到太阳的平均距离约为 149.8 \times 10^9 149.8 \times 10^9 米，根据wiki的信息，地球到太阳的真实平均距离是149.6 百万公里，上面的计算结果和wiki的信息已经很接近了。
所以，这是一个正确的答案，但是计算过程是有问题的。因为上面用到了太阳的质量，而太阳的质量M之所以会知道，也是通过地球和太阳的距离作为已知求取的，所以这种计算方法并不合适。
那么，如何可以不用太阳质量的前提下计算距离呢？
可以根据开普勒定律和金星凌日来计算。
金星凌日，图来自nasa，https://science.nasa.gov/resource/venus-transit-across-the-sun-2014/大致思路是先用开普勒定律求出金星-地球距离和金星太阳距离的比例，然后再用金星凌日时候的观测计算金星和地球的距离，最后求出地球-太阳距离。具体过程如下。
开普勒第三定律说明了行星的轨道周期（T）平方与半长轴立方（a）成正比，即：
\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{a_1^3}{a_2^3} \frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{a_1^3}{a_2^3}
地球的轨道周期1年，金星的轨道周期大概0.615年。基于此，可以推导出太阳和金星之间的距离是太阳和地球距离的0.72倍。
再看金星凌日，这个现象就是地球上观测到金星经过太阳表面前方的过程，三者的位置如下图，
金星凌日和地表观测点在地球上选两个观测点A和B，它们之间的距离 d是可测量的，然后，两者观测金星的视差角是 \alpha\alpha ，它和金星到地球的距离D满足下面的公式：
