如何计算地球和太阳之间的距离？
2024-11-19 阅读 102
更新于 2024年11月22日
这里先展示一个结果正确的方法，就是用万有引力定律计算地球和太阳的距离。这个计算过程简单且结果正确，但却是一个有问题的解法。计算如下：
我们知道万有引力提供了地球绕太阳运动的向心力，所以有万有引力等于离心力，写成公式就是：
\frac{mv^2}{r} = \frac{GMm}{r^2} \frac{mv^2}{r} = \frac{GMm}{r^2}
这里，r就是题目中待求的距离，M是太阳的质量，v是地球的公转速度，G是引力常数。
上面公式简化后得到：
r = \frac{GM}{v^2} r = \frac{GM}{v^2}
地球的公转速度未知，但是我们可以把公转速度转换成周期的函数，即
v = \omega r = \frac{2\pi r}{T} v = \omega r = \frac{2\pi r}{T}
这里， \omega \omega 是角速度，T是公转周期，这是已知的，地球绕太阳公转一圈的周期是一年，所以，将这个速度公式代入前面的方程，可以得到地球和太阳之间距离的公式：
r = \left( \frac{GMT^2}{4\pi^2} \right)^{1/3} r = \left( \frac{GMT^2}{4\pi^2} \right)^{1/3}
根据此公式计算，地球到太阳的平均距离约为 149.8 \times 10^9 149.8 \times 10^9 米，根据wiki的信息，地球到太阳的真实平均距离是149.6 百万公里，上面的计算结果和wiki的信息已经很接近了。
所以，这是一个正确的答案，但是计算过程是有问题的。因为上面用到了太阳的质量，而太阳的质量M之所以会知道，也是通过地球和太阳的距离作为已知求取的，所以这种计算方法并不合适。
那么，如何可以不用太阳质量的前提下计算距离呢？
可以根据开普勒定律和金星凌日来计算。
金星凌日，图来自nasa，https://science.nasa.gov/resource/venus-transit-across-the-sun-2014/大致思路是先用开普勒定律求出金星-地球距离和金星太阳距离的比例，然后再用金星凌日时候的观测计算金星和地球的距离，最后求出地球-太阳距离。具体过程如下。
开普勒第三定律说明了行星的轨道周期（T）平方与半长轴立方（a）成正比，即：
\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{a_1^3}{a_2^3} \frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{a_1^3}{a_2^3}
地球的轨道周期1年，金星的轨道周期大概0.615年。基于此，可以推导出太阳和金星之间的距离是太阳和地球距离的0.72倍。
再看金星凌日，这个现象就是地球上观测到金星经过太阳表面前方的过程，三者的位置如下图，
金星凌日和地表观测点在地球上选两个观测点A和B，它们之间的距离 d是可测量的，然后，两者观测金星的视差角是 \alpha\alpha ，它和金星到地球的距离D满足下面的公式：
\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{d}{2D} \tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{d}{2D}
所以，只要能求出夹角 \alpha\alpha 就能算出D，进而根据开普勒定律求出地球和太阳的距离。
好了，2012年正好出现了金星凌日，科学家选了两个观测点，阿拉斯加安克雷奇和夏威夷檀香山[1]
在两个城市分别记录了四个时刻，它们是：
第一次接触：金星刚刚接触到太阳盘面的边缘，安克雷奇 14:06:28，檀香山 12:10:06；
第二次接触：金星完全进入太阳盘面，安克雷奇 14:24:02，檀香山 12:27:45；
第三次接触：金星开始离开太阳盘面，安克雷奇 20:30:44 ，檀香山 18:26:37 ；
第四次接触：金星完全离开太阳盘面金星刚刚接触到太阳盘面的边缘，安克雷奇 20:48:31，檀香山18:44:36 ；
另外，阿拉斯加安克雷奇观测到金星在太阳盘面上以0.05527弧秒/秒的速率移动，而夏威夷檀香山观测到的移动速率是0.05501弧秒/秒.
所以，安克雷奇的观测时间差是 20:30:44 - 14:06:28 = 23056 \text{秒} 20:30:44 - 14:06:28 = 23056 \text{秒} ，对应的路径长度是
23056 \text{秒} \times 0.05527 \text{弧秒/秒} = 1274.3 \text{弧秒}23056 \text{秒} \times 0.05527 \text{弧秒/秒} = 1274.3 \text{弧秒} ；夏威夷檀香山的观测时间差是 18:26:37 - 12:10:06 = 22591 \text{秒}18:26:37 - 12:10:06 = 22591 \text{秒} ，对应的路径长度是 1242.7 \text{弧秒}1242.7 \text{弧秒}
同时，观测到太阳的半径以弧分为单位表示为 915 弧秒。
所以，对应的角度 \alpha\alpha 可以根据下图，用勾股定理公式求出，
\alpha=\sqrt{R^{2}-(\frac{D_{A'}}{2})^{2}}-\sqrt{R^{2}-(\frac{D_{B'}}{2})^{2}}\alpha=\sqrt{R^{2}-(\frac{D_{A'}}{2})^{2}}-\sqrt{R^{2}-(\frac{D_{B'}}{2})^{2}}
其中， D_{A'}D_{A'} 和 D_{B'}D_{B'} 分别是阿拉斯加安克雷奇和夏威夷檀香山的观测路径长度，得到视差角是0.0056度。
视差角计算示意图结合安克雷奇和檀香山之间的距离已知4482公里，且视差角测量为0.0056度，所以根据 \tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{d}{2D} \tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{d}{2D} 得到，地球到金星的距离D=4500万公里
最后再根据开普勒第三定律，金星-地球的平均距离约为地球-太阳距离的0.28倍，所以日地距离大约是1.6亿公里。
好了，写到这里，从昨晚写到现在，欢迎交流～
参考^https://sunearthday.nasa.gov/2012/articles/ttt_75.php
借助视差以及开普勒定律推导日地距离的基本原理参考@黄河边儿 的回答就可以了，我主要是补充一点点技术细节。
1推导日地距离需要用到开普勒第三定律，但要注意单单用开三得到的只是金星与地球的公转轨道半长轴之比，由于行星公转轨道皆为椭圆，发生金星凌日时日金距离与日地距离的比例不能直接等价为半长轴之比，还要看两颗天体在各自轨道的位置。这里需要引入一个名为偏近点角的概念。
∠E即偏近点角，偏近点角是在轨道上的天体现在的位置投影在垂直于椭圆半长轴的外接圆上，并从椭圆的中心量度和近拱点（如近日点）方向之间的角度︱Wikipedia@FranFranz偏近点角可以从观测数据中导出。通过偏近点角结合轨道偏心率 e 与轨道半长轴 a 我们就可以准确得出任意时刻天体与太阳的距离，计算公式为 r=a\left( 1-e cos E \right)r=a\left( 1-e cos E \right) ，在测量日地距离这个例子中，则是 \frac{r_{T}}{r_{V}}=\sqrt[3]{\frac{T^{2}_{T}}{T^{2}_{V}}}\frac{\left( 1-e_{T} cos E_{T} \right)}{\left( 1-e_{V} cos E_{V} \right)}\frac{r_{T}}{r_{V}}=\sqrt[3]{\frac{T^{2}_{T}}{T^{2}_{V}}}\frac{\left( 1-e_{T} cos E_{T} \right)}{\left( 1-e_{V} cos E_{V} \right)} ，下标T代表地球，下标V表示金星。
2最初倡导利用金星凌日测量日地距离的天文学家哈雷还设计了具体的实验方案，简单来说需要记录完整的金星通过日面的时间，即入凌（ingress，金星进入日面）到出凌（egress，金星离开日面）的时间，这就需要观测地能够观测到金星凌日的全过程，至少能记录到入凌出凌的时间。法国天文学家德利勒（Joseph-Nicolas Delisle）改进了哈雷的方案，增加了观测地选择的自由度，除了能完整观测凌日的地方，能够单独观测到入凌或出凌过程的地点同样可以参与到日地距离的测量实验中。
一次典型的行星凌日示意，1~2为入凌，3~4为出凌︱Michael Zeiler, eclipse-maps.com3历史上从金星凌日实验导出的直接结果并不是日地距离，而是太阳视差，太阳视差指的是从地心和地面分别观测太阳时产生的太阳位置差异，所以历史上对日地距离的推导还关系到地球半径的测量。
∠A为太阳视差，BC为地球半径，求日地距离（AB或AC）如果你对更多技术细节感兴趣，可以阅读以下链接：
这太简单了。用绳子量呀。你站在太阳上面，我站在地球上，把绳子拉直了，我这边打个疙瘩，你那边也打个疙瘩，然后你飞回来，我们一起用尺子量。
在人们印象中，日食总会被视为一个奇迹，正如地球上的历史上最近的一次日食，一场宏大的太阳月亮星空秀吸引了亿万人的目光。然而，人们对于太阳和月亮的大小却会有疑惑，为什么它们看起来能刚好遮住太阳。实际上，太阳和月亮能看起来大小相同程度完全是机缘巧合，毕竟太阳比月球大400倍，月球也比地球小2.5万公里，但是却能被我们看作相同大小。然而，月球和地球的距离虽然短短的，却足够让月球的表面面积遮住太阳，而这又是怎样一种机缘巧合?日食这个现象能够出现，那么首先就是月球的表面积比太阳的小，这样太阳就能被月球遮住。在地球上，月球能遮住太阳的条件并不是随处都能看到的，或者说是时间并不是一成不变的。这是因为地球环绕太阳并不是同一个轨道在转，而是一个椭圆轨道在转，因此在不同地区可能看到的日食也会不一样，有的地方可能常年都是可见到日食，而有的地方可能看不到日食不仅是因为地理位置的原因。那么为什么月球的面积小于太阳，这又是因为太阳确实超级大，直径有1392684公里，而月球的直径是3476公里，刚好是太阳的1/400。有的人表示，如果不刻意注意的话，其实月球和太阳的表面积看上去还是差不多大的。实际上这样的想法是错误的，因为月球和太阳表面积的具体差距还是挺大的，月球的表面积只有90亿平方公里，但是太阳的表面积却有6000亿平方公里。这样一来，月球和太阳大小的比例看上去就更为不一致了。当月球环绕地球的时候，有的时候太阳就会被月球遮住，形成日食这一现象。为了弄清楚这一点，我们还是要从个体的自身特点来讲起。月球和地球一样，它也有自己的特点，同样它也有自己的自转，不过这种自转的特点来说，月球上永远都看不到来自地球的日出，而且它永远都是用同一块表面面对地球。这就是我们所能看到的相同的月牙，这样的自转被称作同步自转。而为什么我们能看到整个月亮的原因，这就是因为月球绕行一圈就是绕动一次，而且绕行速度和自转速度大致相同。但是在月球的自转中，却有着两种可能的情况，如果月球绕地球转的速度比较大，那么这样我们就能看到月球的全貌。但是如果月球绕地球转的速度比较慢，从地球上来看，月球的确就好像被凝固住了一样，这样我们就总是能看到月球的一面。实际上月球绕地球转的速度是两者的平均值，因此在脱离地球的引力中，月球就会自由自在的绕行，同时自转也是有规律可循的，而这种规律就是28天一个周期。第一种情况的话，就是在同一块表面，但是可能会出现一轮的自转，而且在月球上同一处，可能会经历昼夜交替。而第二种情况就是，月球的自转速度比较慢，并且绕行速度又比自转速度慢，这个时候，就会出现月球始终面对地球的一面。而实际上，月球就是采用的第二种情况，也就是说，月球的自转速度比绕行速度的快，因此月球的一面就始终面对着地球。我们能看到的是月球的各种阴影和月牙，这说明月球是有自转的，而且是绕地球转的。而月球进行一次自转的周期恰好是绕地球运行周期的整数倍，因此月球就会永远都是用着同一块表面面对着地球。如果我们将月球比作一个篮球，将地球比作一个足球，那么两者的大小是有区别的，因为篮球的直径是24.5厘米，而足球的直径是21厘米。因此在篮球悬空在一个位置上的时候，当我们从上向下看的时候，肯定会看到篮球比足球大。同样的，如果我们观察天文中的现象，如果一个星球的直径比另一个星球大，那么这个星球肯定能遮住另一个星球。同样的道理也适用于月球和太阳，在同一水平上，月球和太阳的大小是差不多的，但是因为月球和太阳距离不一样，因此就会有部分月球来遮住太阳。或许有人会对这个举个例来解释，就会感到疑惑，为什么月球和太阳距离差不多，但是从来都看不到日食。这个问题的原因就是，月球和地球的距离从来都是有变化的，由于地球环绕太阳转动，因此在不同位置就会看到不一样的景象，这也就是为什么月全食和日全食都存在的原因。这些都是不同位置的景象，要看到日食的话，月球就只能够出现在地球和太阳之间，这样才能够看到日食的景象。地球到太阳的直线距离是1亿4650万公里，而地球到月球的平均距离则是38万公里。而这个时候，当月球从地球和太阳之间的一线上通过的时候，这就会形成日食的景象。同时月球会挡住太阳的带有光辉的外围，但是太阳的能量仍然会穿过月球达到地球，这也就是为什么能够看到日食的景象。
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浩瀚的宇宙当中，太阳是地球的主要能量来源，对地球上的生物生存和气候系统也都起着至关重要的影响。离地球最近的是金星，离太阳最近的是水星，大行星当中，大小和质量也是有很大差异的，木星是最大的行星，而水星是最小的行星。在大气层中，除了水星和金星以外，其他行星都有着大气层，木星和土星也是两颗气态巨行星，他们的大气层也非常的浓厚，对于轨道都近似于圆形，他们也都在周期各不相同，距离太阳越近，公转速度也就越快。
太阳和地球之间的距离大约有1.5亿公里，由于地球的轨道是一个椭圆形，经过多方证实和科技科学家的计算，得出了地球周长是40075公里，太阳系当中，除了海王星以外，行星间的距离也都是很有规律的，它们密切的吻合这条定律，也是以天文学家名字命名的，把地球到太阳的距离，作为一个单位，这样能够方便形象的表达行星间的距离，在度量来表示行星与太阳之间的距离。太阳系各大行星的先后顺序有着极强腐蚀的酸雨，不适合人类生存。地球是我们赖以生存的家园，火星可以以前存在过生命。木星是太阳系中最大的行星。
宇宙是无穷大的和人类的渺小，也是一个鲜明的对比。地球是我们的家园，科学家也把地球形成于数十亿年前太阳系中的行星，也比地球大。离太阳最近的行星只有水星和金星，更接近地球，地球拥有着大量的液态水的行星液态水，对于生命是非常重要的地球也是唯一发现生命的星球。
