为什么两数相除，商不可能是无限不循环小数？
2024-11-19 阅读 10
更新于 2024年11月22日
由于有理数可表示为 \dfrac{p}{q}\dfrac{p}{q} ，因此两个有理数相除可转换为整数相除。
因此只需要搞清楚整数相除为什么要么得到有限小数，要么得到无限循环小数。
假设我们有两个整数 m,nm,n ，不妨设都是正数，因为负数情况把符号单独处理一下即可。
我们现在来计算 m\div nm\div n 的小数形式。
怎么计算？当然是用长除法，即列竖式。
回想一下长除法我们在干什么？实际上，每一步都是在做带余除法。
由于除数是 nn 为一个整数，而带余除法的商和余数都是整数，且余数 rr 只能在 0,1,\cdots,n-10,1,\cdots,n-1 中取，只有这 nn 种情况。
这意味着余数的取法是有限的！
那么，如果长除过程没有在某时刻得到余数为0终止长除过程从而得到有限小数，那么一定在某个时刻会遇到之前出现过的余数，这个时刻运气最差也会在第 n-1n-1 次后到达。
而长除法始终只是在对余数乘上10后继续进行带余除法。那么可以想象，从该重复余数出现开始，后面的长除过程将重复之前的步骤，从而得到相同的商，即得到相同的小数位，直到再次回到该重复余数，继续之前的境遇，从而无限循环下去……
