求大佬解决这个高中生无法解决的问题。物块的运动状态没法分析?
2024-11-19 阅读 25
当分析物块的运动状态时，可以考虑以下几个方面：
-
速度和加速度：可以通过速度和加速度的定义来分析物块的运动状态。速度是物块在单位时间内移动的距离，而加速度则是速度的变化率。通过计算速度和加速度的变化，可以了解物块的运动状态是匀速、加速、减速还是匀变速运动。
-
运动方程：利用运动方程可以描述物块在匀变速运动中的位置、速度和加速度之间的关系。根据不同的运动情况，可以选择合适的运动方程来分析物块的运动状态。
-
力的分析：根据牛顿运动定律，物块的运动状态受到作用在其上的力的影响。通过分析作用在物块上的力，可以推断物块的运动状态是受力运动还是惯性运动。
-
能量守恒：在某些情况下，可以利用能量守恒定律来分析物块的运动状态。通过计算物块的动能、势能和机械能的变化，可以了解物块的运动状态。
综合以上几点，可以较全面地分析物块的运动状态。希望这些提示能帮助你解决问题。如果有具体的物块运动问题，也欢迎提出来，我会尽力帮助你解决。
更新于 2024年11月21日
先上结论：
物块做匀加速直线运动，且运动所在直线斜率为 -(1+\dfrac{m}{M})\tan\theta-(1+\dfrac{m}{M})\tan\theta 让我们先来看斜面与物块之间也光滑的情况，即 \mu=0\mu=0 时。
我们知道物块加速下滑过程中斜面也会加速向左滑动，受力分析如图：
不妨建立如图坐标系，设初始物块位于斜面顶部，坐标为 (0,h)(0,h) ，且初始速度为0.
分别对 mm 和 MM 列牛顿第二定律： \left\{ \begin{aligned} &N_1\sin \theta=ma_{1x}\\ &mg-N_1\cos\theta=ma_{1y} \end{aligned} \right.\\\left\{ \begin{aligned} &N_1\sin \theta=ma_{1x}\\ &mg-N_1\cos\theta=ma_{1y} \end{aligned} \right.\\\left\{ \begin{aligned} &N_2-Mg-N_1\cos\theta=0\\ &N_1\sin\theta=Ma_{2x} \end{aligned} \right.\\\left\{ \begin{aligned} &N_2-Mg-N_1\cos\theta=0\\ &N_1\sin\theta=Ma_{2x} \end{aligned} \right.\\ 这4个方程中有5个未知数： a_{1x},a_{1y},a_{2x},N_1,N_2a_{1x},a_{1y},a_{2x},N_1,N_2 ，不能定解，那还差什么方程呢？
注意物块下滑过程中一直在斜面上，说明垂直于斜面的位移要相等，这就是几何约束条件！
在垂直于斜面的位移相等，那么「垂直于斜面的速度和加速度都得相等」。
因此我们便有约束方程：
a_{2x}\sin \theta=a_{1y}\cos\theta-a_{1x}\sin\theta\\a_{2x}\sin \theta=a_{1y}\cos\theta-a_{1x}\sin\theta\\ 这样，我们就能联立以上5个方程求出所有变量： \left\{ \begin{aligned} &a_{1x}=\dfrac{M\sin\theta\cos\theta}{M+m\sin^2\theta}g\\ &a_{1y}=\dfrac{(M+m)\sin^2\theta}{M+m\sin^2\theta}g\\ &a_{2x}=\dfrac{m\sin\theta\cos\theta}{M+m\sin^2\theta}g\\ &N_1=\dfrac{Mmg\cos\theta}{M+m\sin^2\theta}\\ &N_2=\dfrac{(M+m)Mg}{M+m\sin^2\theta} \end{aligned} \right.\\\left\{ \begin{aligned} &a_{1x}=\dfrac{M\sin\theta\cos\theta}{M+m\sin^2\theta}g\\ &a_{1y}=\dfrac{(M+m)\sin^2\theta}{M+m\sin^2\theta}g\\ &a_{2x}=\dfrac{m\sin\theta\cos\theta}{M+m\sin^2\theta}g\\ &N_1=\dfrac{Mmg\cos\theta}{M+m\sin^2\theta}\\ &N_2=\dfrac{(M+m)Mg}{M+m\sin^2\theta} \end{aligned} \right.\\这些解写起来很麻烦，虽然不影响之后对于运动状态的讨论，但是我们先等等，先作个化简。
上面的解中，对于支持力 N_1N_1 和 N_2N_2 ，我们可以作适当变形： N_1=\dfrac{Mmg\cos\theta}{M+m\sin^2\theta}=mg\cos\theta\dfrac{M}{M+m\sin^2\theta}=mg\cos\theta\dfrac{1}{1+\dfrac{m}{M}\sin^2\theta}\\N_1=\dfrac{Mmg\cos\theta}{M+m\sin^2\theta}=mg\cos\theta\dfrac{M}{M+m\sin^2\theta}=mg\cos\theta\dfrac{1}{1+\dfrac{m}{M}\sin^2\theta}\\
N_2=\dfrac{(M+m)Mg}{M+m\sin^2\theta}=(M+m)g\dfrac{M}{M+m\sin^2\theta}=(M+m)g\dfrac{1}{1+\dfrac{m}{M}\sin^2\theta}\\N_2=\dfrac{(M+m)Mg}{M+m\sin^2\theta}=(M+m)g\dfrac{M}{M+m\sin^2\theta}=(M+m)g\dfrac{1}{1+\dfrac{m}{M}\sin^2\theta}\\我们令 \gamma=\dfrac{1}{1+\dfrac{m}{M}\sin^2\theta}\gamma=\dfrac{1}{1+\dfrac{m}{M}\sin^2\theta} ，则有：N_1=\gamma mg\cos\theta\\N_1=\gamma mg\cos\theta\\N_2=\gamma(M+m)g\\N_2=\gamma(M+m)g\\ 这样的形式很有意思，因为 mg\cos\thetamg\cos\theta 和 (M+m)g(M+m)g 都恰好是平衡状态下的支持力大小， \gamma\gamma 是相比于平衡状态下的修正系数。
引入 \gamma\gamma 后，我们也能得到3个加速度的表达式： a_{1x}=\gamma\sin\theta\cos\theta \cdot g\\a_{1x}=\gamma\sin\theta\cos\theta \cdot g\\a_{1y}=(1-\gamma\cos^2\theta)\cdot g\\a_{1y}=(1-\gamma\cos^2\theta)\cdot g\\a_{2x}=(1-\gamma)\cot\theta \cdot g\\a_{2x}=(1-\gamma)\cot\theta \cdot g\\ 由于这里 M,m,\gamma,\theta,gM,m,\gamma,\theta,g 均为定值，因此这5个变量均为常数！
这意味着无论是物块还是斜面，都是在做匀变速运动！
而且由于是从静止开始运动的，速度方向和加速度方向一定相同，因此一定是匀变速直线运动！
好家伙，原来这个看似复杂的运动其实并不复杂，只是一个简单的匀加速直线运动而已！
那么这个匀加速直线运动的斜率是： k=-\dfrac{a_{1y}}{a_{1x}}=\dfrac{1-\gamma \cos^2\theta}{\gamma \sin\theta\cos\theta}=-\left(1+\dfrac{m}{M}\right)\tan\theta\\k=-\dfrac{a_{1y}}{a_{1x}}=\dfrac{1-\gamma \cos^2\theta}{\gamma \sin\theta\cos\theta}=-\left(1+\dfrac{m}{M}\right)\tan\theta\\ 因此，如果按照图示建立坐标系，则运动轨迹为：
y=h-(1+\dfrac{m}{M})\tan\theta\cdot x\\y=h-(1+\dfrac{m}{M})\tan\theta\cdot x\\ 对于这个结果，可以作一点极限分析：
如果 M\gg mM\gg m ，那么可以斜面将基本不会运动，那么几乎等效为物块从静止的斜面上滑下，那么其运动轨迹就是斜面所在直线，也就是 y=h-\tan\theta\cdot xy=h-\tan\theta\cdot x ，和所求得式子符合。
另外，根据以上结果，还能求得物块的合加速度，物块滑至底部所需时间、位置、速度等，在此不赘述。
有了以上斜面光滑情况的经验，现在再来求解你所给的斜面粗糙的情况就十分轻松了。
