求大佬解决这个高中生无法解决的问题。物块的运动状态没法分析?
2024-11-19 阅读 17
更新于 2024年11月21日
先上结论：
物块做匀加速直线运动，且运动所在直线斜率为 -(1+\dfrac{m}{M})\tan\theta-(1+\dfrac{m}{M})\tan\theta 让我们先来看斜面与物块之间也光滑的情况，即 \mu=0\mu=0 时。
我们知道物块加速下滑过程中斜面也会加速向左滑动，受力分析如图：
不妨建立如图坐标系，设初始物块位于斜面顶部，坐标为 (0,h)(0,h) ，且初始速度为0.
分别对 mm 和 MM 列牛顿第二定律： \left\{ \begin{aligned} &N_1\sin \theta=ma_{1x}\\ &mg-N_1\cos\theta=ma_{1y} \end{aligned} \right.\\\left\{ \begin{aligned} &N_1\sin \theta=ma_{1x}\\ &mg-N_1\cos\theta=ma_{1y} \end{aligned} \right.\\\left\{ \begin{aligned} &N_2-Mg-N_1\cos\theta=0\\ &N_1\sin\theta=Ma_{2x} \end{aligned} \right.\\\left\{ \begin{aligned} &N_2-Mg-N_1\cos\theta=0\\ &N_1\sin\theta=Ma_{2x} \end{aligned} \right.\\ 这4个方程中有5个未知数： a_{1x},a_{1y},a_{2x},N_1,N_2a_{1x},a_{1y},a_{2x},N_1,N_2 ，不能定解，那还差什么方程呢？
注意物块下滑过程中一直在斜面上，说明垂直于斜面的位移要相等，这就是几何约束条件！
在垂直于斜面的位移相等，那么「垂直于斜面的速度和加速度都得相等」。
因此我们便有约束方程：
a_{2x}\sin \theta=a_{1y}\cos\theta-a_{1x}\sin\theta\\a_{2x}\sin \theta=a_{1y}\cos\theta-a_{1x}\sin\theta\\ 这样，我们就能联立以上5个方程求出所有变量： \left\{ \begin{aligned} &a_{1x}=\dfrac{M\sin\theta\cos\theta}{M+m\sin^2\theta}g\\ &a_{1y}=\dfrac{(M+m)\sin^2\theta}{M+m\sin^2\theta}g\\ &a_{2x}=\dfrac{m\sin\theta\cos\theta}{M+m\sin^2\theta}g\\ &N_1=\dfrac{Mmg\cos\theta}{M+m\sin^2\theta}\\ &N_2=\dfrac{(M+m)Mg}{M+m\sin^2\theta} \end{aligned} \right.\\\left\{ \begin{aligned} &a_{1x}=\dfrac{M\sin\theta\cos\theta}{M+m\sin^2\theta}g\\ &a_{1y}=\dfrac{(M+m)\sin^2\theta}{M+m\sin^2\theta}g\\ &a_{2x}=\dfrac{m\sin\theta\cos\theta}{M+m\sin^2\theta}g\\ &N_1=\dfrac{Mmg\cos\theta}{M+m\sin^2\theta}\\ &N_2=\dfrac{(M+m)Mg}{M+m\sin^2\theta} \end{aligned} \right.\\这些解写起来很麻烦，虽然不影响之后对于运动状态的讨论，但是我们先等等，先作个化简。
上面的解中，对于支持力 N_1N_1 和 N_2N_2 ，我们可以作适当变形： N_1=\dfrac{Mmg\cos\theta}{M+m\sin^2\theta}=mg\cos\theta\dfrac{M}{M+m\sin^2\theta}=mg\cos\theta\dfrac{1}{1+\dfrac{m}{M}\sin^2\theta}\\N_1=\dfrac{Mmg\cos\theta}{M+m\sin^2\theta}=mg\cos\theta\dfrac{M}{M+m\sin^2\theta}=mg\cos\theta\dfrac{1}{1+\dfrac{m}{M}\sin^2\theta}\\
N_2=\dfrac{(M+m)Mg}{M+m\sin^2\theta}=(M+m)g\dfrac{M}{M+m\sin^2\theta}=(M+m)g\dfrac{1}{1+\dfrac{m}{M}\sin^2\theta}\\N_2=\dfrac{(M+m)Mg}{M+m\sin^2\theta}=(M+m)g\dfrac{M}{M+m\sin^2\theta}=(M+m)g\dfrac{1}{1+\dfrac{m}{M}\sin^2\theta}\\我们令 \gamma=\dfrac{1}{1+\dfrac{m}{M}\sin^2\theta}\gamma=\dfrac{1}{1+\dfrac{m}{M}\sin^2\theta} ，则有：N_1=\gamma mg\cos\theta\\N_1=\gamma mg\cos\theta\\N_2=\gamma(M+m)g\\N_2=\gamma(M+m)g\\ 这样的形式很有意思，因为 mg\cos\thetamg\cos\theta 和 (M+m)g(M+m)g 都恰好是平衡状态下的支持力大小， \gamma\gamma 是相比于平衡状态下的修正系数。
引入 \gamma\gamma 后，我们也能得到3个加速度的表达式： a_{1x}=\gamma\sin\theta\cos\theta \cdot g\\a_{1x}=\gamma\sin\theta\cos\theta \cdot g\\a_{1y}=(1-\gamma\cos^2\theta)\cdot g\\a_{1y}=(1-\gamma\cos^2\theta)\cdot g\\a_{2x}=(1-\gamma)\cot\theta \cdot g\\a_{2x}=(1-\gamma)\cot\theta \cdot g\\ 由于这里 M,m,\gamma,\theta,gM,m,\gamma,\theta,g 均为定值，因此这5个变量均为常数！
这意味着无论是物块还是斜面，都是在做匀变速运动！
而且由于是从静止开始运动的，速度方向和加速度方向一定相同，因此一定是匀变速直线运动！
